Question

11．如图，在平面直角坐标系xOy中，过点A（-2，0）的直线交y轴正半轴于点B，将直线AB绕着点O顺时针旋转90°后，分别与x轴、y轴交于点D、C．
（1）若OB=4，求直线AB的函数关系式；
（2）连接BD，若△ABD的面积是5，求点B的运动路径长．

Answer 1

分析 （1）依题意求出点B坐标，然后用待定系数法求解析式；
（2）设OB=m，则AD=m+2，根据三角形面积公式得到关于m的方程，解方程求得m的值，然后根据弧长公式即可求得．

解答 解：（1）∵OB=4，
∴B（0，4）
∵A（-2，0），
设直线AB的解析式为y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=0}\\{b=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为y=2x+4；

（2）设OB=m，则AD=m+2，
∵△ABD的面积是5，
∴$\frac{1}{2}$AD•OB=5，
∴$\frac{1}{2}$（m+2）•m=5，即m²+2m-10=0，
解得m=-1+$\sqrt{11}$或m=-1-$\sqrt{11}$（舍去），
∵∠BOD=90°，
∴点B的运动路径长为：$\frac{1}{4}$×2π×（-1+$\sqrt{11}$）=$\frac{-1+\sqrt{11}}{2}$π．

点评 本题考查的是待定系数法求一次函数的解析式以及三角形面积公式和弧长计算，难度一般．