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    （1）“三等分角”是数学史上一个著名问题，但数学家已经证明，仅用尺规不可能“三等分任意角”．但对于特定度数的已知角，如90°角、45°角等，是可以用尺规进行三等分的．如图a，∠AOB=90°，我们在边OB上取一点C，用尺规以OC为一边向∠AOB内部作等边△OCD，作射线OD，再用尺规作出∠DOB的角平分线OE，则射线OD、OE将∠AOB三等分．仔细体会一下其中的道理，然后用尺规把图b中的∠MON三等分（已知∠MON=45°）．（不需写作法，但需保留作图痕迹，允许适当添加文字的说明）

    （2）数学家帕普斯借助函数给出了一种“三等分锐角”的方法（如图c）：将给定的锐角∠AOB置于直角坐标系中，边OB在x轴上、边OA与函数y=的图象交于点P，以P为圆心、2OP长为半径作弧交图象于点R．分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，两直线相交于点M，连接OM得到∠MOB，则∠MOB=∠AOB．要明白帕普斯的方法，请研究以下问题：
    ①设P（a，）、R（b，），求直线OM对应的函数关系式（用含a、b的代数式表示）．
    ②分别过点P和R作y轴和x轴的平行线，两直线相交于点Q．请说明Q点在直线OM上，并据此证明∠MOB=∠AOB．

    【答案】分析：（1）边ON上取一点A，用尺规以OA为一边向∠MON的外部作等边△OAB，用尺规作出∠AOB的角平分线OC，再用尺规作出∠CON的角平分线OD，则射线OD、OC将∠MON三等分．
    （2）①直线OM是正比例函数，可利用所给的坐标得到M的坐标，代入函数解析式即可；
    ②根据所给的点的坐标得到Q的坐标，看是否符合（1）中的函数解析式；运用矩形的性质，作图过程中的条件，外角与不相邻内角的关系，即可求证．
    解答：解：（1）
    我们在边ON上取一点A，用尺规以OA为一边向∠MON的外部作等边△OAB，用尺规作出∠AOB的角平分线OC，再用尺规作出∠CON的角平分线OD，则射线OD、OC将∠MON三等分．
    （2）①设直线OM的函数关系式为y=kx，P（a，）、R（b，）．（1分）
    则M（b，），
    ∴k=÷b=．（2分）
    ∴直线OM的函数关系式为y=x．（3分）
    ②∵Q的坐标（a，）、满足y=x，
    ∴点Q在直线OM上．
    ∵四边形PQRM是矩形，
    ∴SP=SQ=SR=SM=PR．
    ∴∠SQR=∠SRQ．（5分）
    ∵PR=2OP，
    ∴PS=OP=PR．
    ∴∠POS=∠PSO．（6分）
    ∵∠PSQ是△SQR的一个外角，
    ∴∠PSQ=2∠SQR．
    ∴∠POS=2∠SQR．（7分）
    ∵QR∥OB，
    ∴∠SOB=∠SQR．（8分）
    ∴∠POS=2∠SOB．（9分）
    ∴∠SOB=∠AOB．（10分）
    点评：本题考查了反比例函数的应用，过某个点，这个点的坐标应适合这个函数解析式．注意使用作图过程中利用的条件．
    练习册系列答案
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    的图象交于点P，以P为圆心、以2OP为半径作弧交图象于点R．分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，两直线相交于点M，连接OM得到∠MOB，则∠MOB=
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    ∠AOB．要明白帕普斯的方法，请研究以下问题：
    （1）设P（a，
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    a
    ）、R（b，
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    b
    ），求直线OM对应的函数表达式（用含a，b的代数式表示）；
    （2）分别过点P和R作y轴和x轴的平行线，两直线相交于点Q．请说明Q点在直线OM上，并据此证明精英家教网∠MOB=
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    ∠AOB；
    （3）应用上述方法得到的结论，你如何三等分一个钝角（用文字简要说明）．

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    （2）数学家帕普斯借助函数给出了一种“三等分锐角”的方法（如图c）：将给定的锐角∠AOB置于直角坐标系中，边OB在x轴上、边OA与函数y=
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    的图象交于点P，以P为圆心、2OP长为半径作弧交图象于点R．分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，两直线相交于点M，连接OM得到∠MOB，则∠MOB=
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    ∠AOB．要明白帕普斯的方法，请研究以下问题：
    ①设P（a，
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    a
    ）、R（b，
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    b
    ），求直线OM对应的函数关系式（用含a、b的代数式表示）．
    ②分别过点P和R作y轴和x轴的平行线，两直线相交于点Q．请说明Q点在直线OM上，并据此证明∠MOB=
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    ∠AOB．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    三等分任意角是三大几何作图不能问题之一，古希腊数学家阿基米德就设计出了一个巧妙的三等分角的方法：在直尺边缘上添加一点P，命尺端为O（如图①）；设所要三等分的角是∠MCN，以C为圆心，OP为半径作半圆交给定角的两边CM、CN于A、B两点；移动直尺，使直尺上的O点在AC的延长线上移动，P点在圆周上移动，当直尺正好通过B点时，连OPB，则有∠AOB=
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    ∠MCN．这种方法由于在直尺上作了一个记号，不符合尺规作图中直尺只能用来连线的规定，因此还不能算是严格意义上的尺规作图．
    （1）动手实践操作，用以上方法三等分∠MCN，在图②中画出图形并标明相应字母；
    （2）请你就阿基米德的作图方法给出证明．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    尺规作图，保留作图痕迹，不用写出作法，但要写出结论：
    （1）如图，已知线段a，请以a为边作一个等边三角形；
    （2）三等分角是古希腊三大几何问题之一，如今数学上已证实了在尺规作图的前提下，此题无解．但有些特殊角度是可以实现尺规作图三等分的，比如三等分直角．如图，已知∠AOB=90°，请试用第（1）小题中的知识将其三等分．

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    科目：初中数学 来源：第1章《反比例函数》中考题集（26）：1.3 反比例函数的应用（解析版） 题型：解答题

    “三等分角”是数学史上一个著名的问题，但仅用尺规不可能“三等分角”．下面是数学家帕普斯借助函数给出的一种“三等分锐角”的方法（如图）：将给定的锐角∠AOB置于直角坐标系中，边OB在x轴上、边OA与函数y=的图象交于点P，以P为圆心、以2OP为半径作弧交图象于点R．分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，两直线相交于点M，连接OM得到∠MOB，则∠MOB=∠AOB．要明白帕普斯的方法，请研究以下问题：
    （1）设P（a，）、R（b，），求直线OM对应的函数表达式（用含a，b的代数式表示）；
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    （3）应用上述方法得到的结论，你如何三等分一个钝角（用文字简要说明）．

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