Question

【题目】在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，n），若点A′（m，n′）的纵坐标满足n′=，则称点A′是点A的“绝对点”．

（1）点（3，2）的“绝对点”的坐标为　　．

（2）点P是函数y=4x-1的图象上的一点，点P′是点P的“绝对点”．若点P与点P′重合，求点P的坐标．

（3）点Q（a，b）的“绝对点”Q′是函数y=2x2的图象上的一点．当0≤a≤2 时，求线段QQ′的最大值．

Answer 1

【答案】（1）（3，1）；（2）m=,n=;（3）Q Q′的最大值为14或2

【解析】分析：（1）根据绝对点的定义，可得答案；（2）根据绝对点的定义，可得Q点的坐标，根据点在函数图象上，可得方程，根据解方程，可得答案；（3）当a≥b时，Q′的坐标为（a，a-b），由Q′是函数y=2x2的图象上一点知a-b=2a，即b=a-2a．可得QQ′=|a-b-b|=|a-2（a-2a2）|=|4a2-a|，利用二次函数的图象和性质求出其最大值；当a<b时，Q′的坐标为（a，b-a），知QQ′=|b-b+a|=|a|，显然可得其最值．

本题解析：

解：（1）∵3＞2，

∴点（3，2）的“绝对点”的纵坐标为3﹣2=1，

则点（3，2）的“绝对点”的坐标为（3，1），

故答案为：（3，1）

（2）设点P的坐标为（m，n）．

当m≥n时，P′的坐标为（m，m﹣n）．

若P与P′重合，则n=m﹣n，

又n=4m-1．∴2（4m-1）=m,m= ,n= .

（3）当a≥b时，Q′的坐标为（a，a﹣b）．

因为Q′是函数y=2x2的图象上一点，

所以a﹣b=2a2．

即b=a﹣2a 2．

QQ′=|a﹣b﹣b|=|a﹣2（a﹣2a2）|=|4a2﹣a|，

当a=2时，QQ′的最大值为14．

当a＜b时，Q′的坐标为（a，b﹣a）．

QQ′=|b﹣b+a|=|a|．

当a=2时，QQ′的最大值为2．

综上所述，Q Q′的最大值为14或2