Question

13．如图，在⊙O中，半径OA⊥OB，过点OA的中点C作FD∥OB交⊙O于D、F两点，且CD=$\sqrt{3}$，以O为圆心，OC为半径作$\widehat{CE}$，交OB于E点．
（1）求⊙O的半径OA的长；
（2）计算阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）首先证明OA⊥DF，由OD=2CO推出∠CDO=30°，设OC=x，则OD=2x，利用勾股定理即可解决问题．
（2）根据S_阴=S_△CDO+S_扇形OBD-S_扇形OCE计算即可．

解答 解；（1）连接OD，

∵OA⊥OB，
∴∠AOB=90°，
∵CD∥OB，
∴∠OCD=90°，
在RT△OCD中，∵C是AO中点，CD=$\sqrt{3}$，
∴OD=2CO，设OC=x，
∴x²+（$\sqrt{3}$）²=（2x）²，
∴x=1，
∴OD=2，
∴⊙O的半径为2．
（2）∵sin∠CDO=$\frac{CO}{OD}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠CDO=30°，
∵FD∥OB，
∴∠DOB=∠ODC=30°，
∴S_阴=S_△CDO+S_扇形OBD-S_扇形OCE
=$\frac{1}{2}$×$1×\sqrt{3}$+$\frac{30π×{2}^{2}}{360}$-$\frac{90π•{1}^{2}}{360}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{π}{12}$．

点评 本题考查扇形面积、垂径定理、勾股定理、有一个角是30度的直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用分割法求面积．学会把求不规则图形面积转化为求规则图形面积，属于中考常考题型．