Question

1．已知，已知?ABCD的对角线AC与BD相交于点O，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC=∠DAE=90°，连结BE，CE，且CE交BD于点F，现有四个结论：①BD=CE；②BD⊥CE；③∠ACE=∠ABE；④BF=EF，其中正确结论的个数为（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 根据等腰直角三角形的性质可得AB=AC，AD=AE，再求出∠BAD=∠CAE，然后利用“边角边”证明△AEC与△ADB全等，根据全等三角形的对应边相等可得BD=CE，判断出①正确；全等三角形对应角相等可得∠AEC=∠ADB，再求出∠DEF+∠EDF=90°，然后求出BD⊥CE，判断出②正确；根据平行四边形对称性可得△ADE和△DCA全等，求出∠CAE=∠BAE=135°，然后利用“边角边”证明△AEC和△AEB全等，判断出③正确；因为∠BEF≠∠EBF，所以BF≠EF，故④错误．

解答 解：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴AB=AC，AD=AE，
∵∠BAD=90°+∠CAD，
∠CAE=90°+∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE，
在△AEC与△ADB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△AEC≌△ADB（SAS），
∴BD=CE，故①正确；
∴∠ADB=∠AEC，
∵∠DEF+∠AEC+∠EDA=90°，
∴∠DEF+∠ADB+∠EDA=90°
∴∠DEF+∠EDF=90°，
∴BD⊥CE，故②正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴△ABC≌△CDA，
∴△CDA是等腰直角三角形，
∵∠CAE=90°+∠CAD=135°，
∠BAE=360°-90°-135°=135°，
∴∠CAE=∠BAE=135°，
在△AEC和△AEB，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠CAE=∠BAE}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△AEC≌△AEB（SAS），
∴∠ACE=∠ABE，故③正确；
因为∠BEF≠∠EBF，所以BF≠EF，故④错误．
正确的有3个，
故选：C．

点评 此题主要考查了全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质；本题综合性强，难度较大，注意细心分析，熟练应用全等三角形的判定以及相似三角形的判定和性质是解决问题的关键．