【题目】如图,抛物线与x轴交于A(x1,0)、B(x2,0)两点,且x1<x2与y轴交于点C(0,4),其中x1,x2是方程x2﹣4x﹣12=0的两个根.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点M是线段AB上的一个动点,过点M作MN∥BC,交AC于点N,连结CM,当△CMN的面积最大时,求点M的坐标;
(3)点D(4,k)在(1)中抛物线上,点E为抛物线上一动点,在x轴上是否存在点F,使以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,直接写出所有满足条件的点F的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣4;(2)点M的坐标为(2,0);(3)F1(﹣6,0),F2(2,0),F3(8﹣2,0),F4(8+2,0).
【解析】试题分析:(1)根据一元二次方程解法得出A,B两点的坐标,再利用交点式求出二次函数解析式;
(2)首先判定△MNA∽△BCA.得出,进而得出函数的最值;
(3)分别根据当AF为平行四边形的边时,AF平行且等于DE与当AF为平行四边形的对角线时,分析得出符合要求的答案.
试题解析:(1)∵x2﹣4x﹣12=0,
∴x1=﹣2,x2=6.
∴A(﹣2,0),B(6,0),
又∵抛物线过点A、B、C,故设抛物线的解析式为y=a(x+2)(x﹣6),
将点C的坐标代入,求得a=,
∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣4;
(2)设点M的坐标为(m,0),过点N作NH⊥x轴于点H(如图(1)).
∵点A的坐标为(﹣2,0),点B的坐标为(6,0),
∴AB=8,AM=m+2,
∵MN∥BC,
∴△MNA∽△BCA.
∴=,
∴=,
∴NH=,
∴S△CMN=S△ACM﹣S△AMN=AMCO﹣AMNH,
=m+2)(4﹣)=﹣m2+m+3,
=﹣(m﹣2)2+4.
∴当m=2时,S△CMN有最大值4.
此时,点M的坐标为(2,0);
(3)∵点D(4,k)在抛物线y=x2﹣x﹣4上,
∴当x=4时,k=﹣4,
∴点D的坐标是(4,﹣4).
①如图(2),当AF为平行四边形的边时,AF平行且等于DE,
∵D(4,﹣4),
∴DE=4.
∴F1(﹣6,0),F2(2,0),
②如图(3),当AF为平行四边形的对角线时,设F(n,0),
∵点A的坐标为(﹣2,0),
则平行四边形的对称中心的横坐标为:,
∴平行四边形的对称中心坐标为(,0),
∵D(4,﹣4),
∴E'的横坐标为:﹣4+=n﹣6,
E'的纵坐标为:4,
∴E'的坐标为(n﹣6,4).
把E'(n﹣6,4)代入y=x2﹣x﹣4,得n2﹣16n+36=0.
解得n=8±2.F3(8﹣2,0),F4(8+2,0),
综上所述F1(﹣6,0),F2(2,0),F3(8﹣2,0),F4(8+2,0).
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【题目】铜仁某校高中一年级组建篮球队,对甲、乙两名备选同学进行定位投篮测试,每次投10个球,共投10次.甲、乙两名同学测试情况如图所示:
根据图6提供的信息填写下表:
平均数 | 众数 | 方差 | |
甲 | |||
乙 |
如果你是高一学生会文体委员,会选择哪名同学进入篮球队?请说明理由.
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【题目】如图1,点O为直线AB上一点,过O点作射线OC,使,将一直角三角板的直角顶点放在点O处,一边ON在射线OA上,另一边OM在直线AB的下方.
(1)将图1中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图2的位置,使得ON落在射线OB上,此时三角板旋转的角度为______度;
(2)在(1)旋转过程中,当旋转至图3的位置时,使得OM在∠BOC的内部,ON落在直线AB下方,试探究∠COM与∠BON之间满足什么等量关系,并说明理由.
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【题目】下列语句中正确的有( )
①经过一点,有且只有一条直线与已知直线平行;②有公共顶点且和为的两个角是邻补角;③两条直线被第三条直线所截,同旁内角互补;④不相交的两条直线叫做平行线;⑤直线外的一点到已知直线的垂线段叫做点到直线的距离;
A.0个;B.1个;C.2个;D.3个;
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【题目】如图,已知BE∥AO,
解:因为BE∥AO.(已知)
所以
因为,(已知 )
所以 .(等量代换)
.(等式性质)
因为 ,(已求)
所以 .(等量代换)
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【题目】如图,在△ABC中,已知∠BDC=∠EFD,∠AED=∠ACB.
(1)试判断∠DEF与∠B的大小关系,并说明理由;
(2)若D、E、F分别是AB、AC、CD边上的中点,S△DEF=4,求S△ABC.
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【题目】如图,在平行四边形ABCD中,过对角线BD的中点O作直线EF,分别交DA的延长线,AB, DC,BC的延长线于点E,M,N,F.
(1)求证:△ODE≌△OBF;
(2)除(1)中这对全等三角形外,再写出两对全等三角形(不需要证明).
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【题目】已知:如图,△ABC中,,BD平分∠ABC,BC上有动点P.
(1)DP⊥BC时(如图1),求证:;
(2)DP平分∠BDC时(如图2),BD、CD、CP三者有何数量关系?
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【题目】材料1:一般地,个相同因数相乘:记为.如,此时,3叫做以2为底的8的对数,记为(即)
(1)计算__________,__________.
材料2:新规定一种运算法则:自然数1到的连乘积用表示,例如:,,,,…在这种规定下
(2)求出满足该等式的:
(3)当为何值时,
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