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【题目】如图,抛物线与x轴交于Ax10)、Bx20)两点,且x1x2y轴交于点C04),其中x1x2是方程x2﹣4x﹣12=0的两个根.

1)求抛物线的解析式;

2)点M是线段AB上的一个动点,过点MMN∥BC,交AC于点N,连结CM,当△CMN的面积最大时,求点M的坐标;

3)点D4k)在(1)中抛物线上,点E为抛物线上一动点,在x轴上是否存在点F,使以ADEF为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,直接写出所有满足条件的点F的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】1)抛物线的解析式为y=x2x4;(2)点M的坐标为(20);(3F160),F220),F3820),F48+20).

【解析】试题分析:1)根据一元二次方程解法得出AB两点的坐标,再利用交点式求出二次函数解析式;
2)首先判定MNA∽△BCA.得出,进而得出函数的最值;
3)分别根据当AF为平行四边形的边时,AF平行且等于DE与当AF为平行四边形的对角线时,分析得出符合要求的答案.

试题解析:1x2﹣4x﹣12=0

x1=﹣2x2=6

A﹣20),B60),

又∵抛物线过点ABC,故设抛物线的解析式为y=ax+2)(x﹣6),

将点C的坐标代入,求得a=

∴抛物线的解析式为y=x2x﹣4

2)设点M的坐标为(m0),过点NNHx轴于点H(如图(1)).

∵点A的坐标为(﹣20),点B的坐标为(60),

AB=8AM=m+2

MNBC

∴△MNA∽△BCA

=

=

NH=

SCMN=SACM﹣SAMN=AMCO﹣AMNH

=m+2)(4﹣=﹣m2+m+3

=﹣m﹣22+4

∴当m=2时,SCMN有最大值4

此时,点M的坐标为(20);

3∵点D4k)在抛物线y=x2x﹣4上,

∴当x=4时,k=﹣4

∴点D的坐标是(4﹣4).

①如图(2),当AF为平行四边形的边时,AF平行且等于DE

D4﹣4),

DE=4

F1﹣60),F220),

②如图(3),当AF为平行四边形的对角线时,设Fn0),

∵点A的坐标为(﹣20),

则平行四边形的对称中心的横坐标为:

∴平行四边形的对称中心坐标为(0),

D4﹣4),

E'的横坐标为:﹣4+=n﹣6

E'的纵坐标为:4

E'的坐标为(n﹣64).

E'n﹣64)代入y=x2x﹣4,得n2﹣16n+36=0

解得n=8±2F38﹣20),F48+20),

综上所述F1﹣60),F220),F38﹣20),F48+20).

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