Question

17．若实数x满足$\sqrt{{x}^{3}-6{x}^{2}+11x-6}$+$\sqrt{{x}^{2}-5x+6}$=x²-6x+8，则x=2．

Answer 1

分析 把等号两边分解因式，公共的因式满足等式两边相等

解答 解：∵$\sqrt{{x}^{3}-6{x}^{2}+11x-6}$+$\sqrt{{x}^{2}-5x+6}$=x²-6x+8，
∴$\sqrt{（x-1）（x-2）（x-3）}+\sqrt{（x-2）（x-3）}$=（x-2）（x-4）
$\sqrt{（x-2）（x-3）}（\sqrt{x-1}+1）$=（x-2）（x-4）
两边平方得：（x-2）（x-3）（$\sqrt{x-1}+1$）²=（x-2）²（x-4）²
由于两边都含有公因式x-2，
∴当x=2时，等式成立．
当x≠2时，（x-3）（$\sqrt{x-1}+1$）²=（x-2）（x-4）²
式子无解
所以x=2．

点评 本题主要考察了二次根式和因式分解，找到两边都含有的因式是关键．