Question

9．如果一个多边形的各边都相等，且各内角也都相等，那么这个多边形就叫做正多边形．如图，就是一组正多边形，观察每个正多边形中∠α的变化情况：

（1）将下面的表格补充完整：
（2）根据规律，是否存在一个正多边形，其中的∠α=21°？若存在，请求出n的值，若不存在，请说明理由．

正多边形边数	3	4	5	6	…	n
∠α的度数	60°	45°	36°	30°	…	$\frac{180°}{n}$

Answer 1

分析 （1）根据正多边形的外角的求法，用360°除以边数求出外角度数，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，∠α等于外角的度数的一半；
（2）根据公式求出∠α=21°时的边数，如果计算出是整数，则存在，否则不存在．

解答 解：（1）n=4时，360°÷4=90°，∠α=90°÷2=45°，
n=5时，360°÷5=72°，∠α=72°÷2=36°，
n=6时，360°÷6=60°，∠α=60°÷2=30°，
边数为n时，∠α=$\frac{360°}{n}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{180°}{n}$；

（2）假设存在一个正多边形，其中的∠α=21°，
则$\frac{180°}{n}$=21°，
解得n=$\frac{60}{7}$（不是整数），
所以，不存在一个正多边形使∠α=21°．

点评 本题考查了多边形内角与外角，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并理解∠α的表示是解题的关键．