Question

18．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的菱形ABCD中B与原点重合，BC在x轴正半轴上，A在反比例函数y=$\frac{k}{x}$上，若菱形绕点A顺时针旋转到AD′与AC重合时，AB′恰好与x轴垂直（D′、B′分别是D、B的对应点）
（1）求反比例函数解析式．
（2）求CC′的长度（C′为C的对应点）

Answer 1

分析 （1）根据菱形与旋转的性质得出∠B′AB=∠D′AD=∠BAC=30°，再解Rt△B′AB，得出BB′=$\frac{1}{2}$AB=1，AB′=$\sqrt{3}$BB′=$\sqrt{3}$，那么A（-1，$\sqrt{3}$），将A点坐标代入y=$\frac{k}{x}$，即可求出反比例函数解析式．
（2）根据菱形的性质得出C点坐标，根据线段的中点坐标公式求出D′坐标，利用旋转的性质得出C′坐标，根据两点间的距离公式计算即可．

解答 解：（1）∵边长为2的菱形ABCD中B与原点重合，BC在x轴正半轴上，
∴AB=BC=2，∠BAC=∠CAD，AD∥BC，
∵菱形ABCD绕点A顺时针旋转到AD′与AC重合时，AB′恰好与x轴垂直（D′、B′分别是D、B的对应点），
∴∠B′AB=∠D′AD，∠B′AD=90°，
∴∠B′AB=∠D′AD=∠BAC=30°．
在Rt△B′AB中，∵∠B′AB=30°，
∴BB′=$\frac{1}{2}$AB=1，AB′=$\sqrt{3}$BB′=$\sqrt{3}$，
∴A（-1，$\sqrt{3}$），
∵A在反比例函数y=$\frac{k}{x}$上，
∴k=-1×$\sqrt{3}$=-$\sqrt{3}$，
∴反比例函数解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{x}$；

（2）∵A（-1，$\sqrt{3}$），C（2，0），
∴AC中点D′坐标为（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
由题意知，C′D′∥AB′，C′D′=AB′=$\sqrt{3}$，
∴C′（$\frac{1}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∴CC′=$\sqrt{（2-\frac{1}{2}）^{2}+（0+\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，菱形与旋转的性质，线段的中点坐标公式，两点间的距离公式．有一定难度．