Question

如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC为⊙O的直径，E为DC边上一点，若AE∥BC，AE=EC=7，AD=6．
（1）求AB的长；
（2）求EG的长．

Answer 1

分析：（1）根据两直线平行，内错角相等，以及三角形中等边对等角，用等量代换得到∠ACB=∠ACE，再用相等的圆周角所对的弧相等，所对的先相等求出AB的长．（2）根据等腰三角形的性质得到DE是△PBC的中位线，求出BC的长，再用勾股定理和相似三角形对应边的比进行计算求出EG的长．

解答：解：（1）∵AE∥BC，
∴∠EAC=∠ACB，
又∵AE=EC，
∴∠EAC=∠ECA，
∴∠ACB=∠ACE，
∴AB=AD=6．

（2）如图：
延长BA，CD交于P，
∵AE∥BC，
∴∠EAC=∠ACB，
∵AE=EC，
∴∠EAC=∠ACE，
∴∠ACB=∠ACE，
又∵BC是直径，
∴∠BAC=90°，
∴AB=AP，PE=EC．
∴△GAE∽△GCB，且AE：BC=1：2．
∴BC=14．
在△ABC中，AC=

BC2-AB2

=

196-36

=4

10

．
AG=

1

3

AC=

4 10

3

．
BG=

AB2+AG2

=

36+ 160 9

=

22

3

．
EG=

1

2

BG=

11

3

．

点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质，（1）根据平行线和圆周角的性质，得到AB=AD，求出AB的长．（2）先用等腰三角形的性质得到AB=AP，然后由AE∥BC，得到相似三角形，根据相似三角形的性质，利用勾股定理计算求出EG的长．