【题目】如图1,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC,将△ABC绕点A逆时针旋转,得到△ADE,旋转角为α(0°<α<90°),连接BD交CE于点F.
(1)如图2,当α=45°时,求证:CF=EF;
(2)在旋转过程中,①问(1)中的结论是否仍然成立?证明你的结论;②连接CD,当△CDF为等腰直角三角形时,求tan的值.
【答案】(1)见解析;(2) ① 成立,理由见解析;②
【解析】
(1)如图中,由∠EAC=∠DAB,AE=AC,AD=AB,可得∠AEC=∠ACE=∠ADB=∠ABD,继而可得FD=FC,再根据∠EDC=90°,继而可推导得出∠FED=∠FDE,可得FE=FD,即可求得EF=FC;
(2)①如图1中,结论仍然成立.理由:连接AF,由旋转的性质可推导得出∠FCA=∠ABF,从而可得A,B,C,F四点共圆,继而根据圆内接四边形的性质可求得∠AFC=90°,有AF⊥EC,再根据AE=AC,即可求得EF=CF;
②分CF=CD,∠FCD=90°和DF=DC,∠CDF=90°两种情况分别进行讨论即可得.
(1)如图中,
∵∠EAC=∠DAB,AE=AC,AD=AB,
∴∠AEC=∠ACE=∠ADB=∠ABD,
∵∠ADB=∠CDF,
∴∠FDC=∠FCD,
∴FD=FC,
∵∠EDC=90°,
∴∠DEF+∠ECD=90°,∠FDE+∠FDC=90°,
∴∠FED=∠FDE,
∴FE=FD,
∴EF=FC.
(2)①如图1中,结论仍然成立.
理由:连接AF.
∵AB=AD,AE=AC,
∴∠ABD=∠ADB,∠ACE=∠EAC,
又∵∠BAD=∠CAE,∠ABD+∠ADB+∠BAD=180°,∠ACE+∠EAC+∠CAE=180°,
∴∠FCA=∠ABF,
∴A,B,C,F四点共圆,
∴∠AFC+∠ABC=180°,
∵∠ABC=90°,
∴∠AFC=90°,
∴AF⊥EC,
∵AE=AC,
∴EF=CF.
②如图3﹣1中,当CF=CD,∠FCD=90°时,连接AF,作CH⊥BF于H.设CF=CD=a.
则DE=,DF=a,
∵CF=CD,CH⊥DF,
∴HF=HD,
∴CH=DF=a,
∴BC=DE=a,
∴BH=,
∵AE=AC,EF=CF,
∴AF平分∠EAC,
∵A,B,C,F四点共圆,
∴∠CAF=∠CBH=α,
∴tanα==;
如图3﹣2中,当DF=DC,∠CDF=90°时,作DH⊥CF于H,连接AF.设CD=DF=m.
则CF=EF=a,DH=CF=m,
∴DE=BC=m,
∴BD==2m,
∴tanα==.
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【题目】已知:如图,反比例函数y= 的图象与一次函数y=x+b的图象交
于点A(1,4)、点B(-4,n).
(1)求一次函数和反比例函数的解析式;
(2)求△OAB的面积;
(3)直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量x的取值范围.
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【题目】如图,已知点A(4,0),O为坐标原点,P是线段OA上任意一点(不含端点O,A),过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下,它们的顶点分别为B、C,射线OB与AC相交于点D.当OD=AD=3时,这两个二次函数的最大值之和等于( )
A. B. C.3 D.4
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【题目】如图,△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=,点E从A出发沿线段AC运动至点C停止,ED⊥AB,EF⊥AC,将△ADE沿直线EF翻折得到△A′D′E,设DE=x,△A′D′E与△ABC重合部分的面积为y.
(1)当x= 时,D′恰好落在BC上?
(2)求y关于x的函数关系式,并写出x的取值范围.
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【题目】如图,点P为函数y=(x>0)图象上一点,过点P作x轴、y轴的平行线,分别与函数y=(x>0)的图象交于点A、B,则△AOB的面积为_____.
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【题目】某中学为推动“时刻听党话 永远跟党走”校园主题教育活动,计划开展四项活动:A:党史演讲比赛,B:党史手抄报比赛,C:党史知识竞赛,D:红色歌咏比赛.校团委对学生最喜欢的一项活动进行调查,随机抽取了部分学生,并将调查结果绘制成图1,图2两幅不完整的统计图.请结合图中信息解答下列问题:
(1)本次共调查了 名学生;
(2)将图1的统计图补充完整;
(3)已知在被调查的最喜欢“党史知识竞赛”项目的4个学生中只有1名女生,现从这4名学生中任意抽取2名学生参加该项目比赛,请用画树状图或列表的方法,求出恰好抽到一名男生一名女生的概率.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°.
(1)用尺规在边BC上求作一点P,使PA=PB(不写作法,保留作图痕迹);
(2)连接AP,若AP平分∠CAB,求∠B的度数.
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【题目】如图,在菱形ABCD中,AB=2,∠DAB=60°,点E是AD边的中点,点M是AB边上的一个动点(不与点A重合),延长ME交CD的延长线于点N,连接MD,AN.
(1)求证:四边形AMDN是平行四边形.
(2)当AM的值为何值时,四边形AMDN是矩形?请说明理由.
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【题目】为改善生态环境,防止水土流失,某村计划在江汉堤坡种植白杨树,现甲、乙两家林场有相同的白杨树苗可供选择,其具体销售方案如下:
甲林场 | 乙林场 | ||
购树苗数量 | 销售单价 | 购树苗数量 | 销售单价 |
不超过1000棵时 | 4元/棵 | 不超过2000棵时 | 4元/棵 |
超过1000棵的部分 | 3.8元/棵 | 超过2000棵的部分 | 3.6元/棵 |
设购买白杨树苗x棵,到两家林场购买所需费用分别为y甲(元)、y乙(元).
(1)该村需要购买1500棵白杨树苗,若都在甲林场购买所需费用为 元,若都在乙林场购买所需费用为 元;
(2)分别求出y甲、y乙与x之间的函数关系式;
(3)如果你是该村的负责人,应该选择到哪家林场购买树苗合算,为什么?
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