Question

【题目】如图，抛物线P：y1＝a（x＋2）2－3与抛物线Q：y2＝ （x－t）2＋1在同一个坐标系中（其中a、t均为常数，且t＞0），已知抛物线P过点A（1，3），过点A作直线l∥x轴，交抛物线P于点B．

（1）a＝________，点B的坐标是________；

（2）当抛物线Q经过点A时．

①求抛物线Q的解析式；

②设直线l与抛物线Q的另一交点记作C，求的值；

（3）若抛物线Q与线段AB总有唯一的交点，直接写出t的取值范围．

Answer 1

【答案】（1） ；（－5，3）；（2）①抛物线Q的解析式为：y2＝ （x－3）2＋1；②＝；（3）0＜t3．

【解析】

（1）先利用待定系数法求出抛物线P的解析式，即可得出结论；
（2）①利用待定系数法求出抛物线Q的解析式，即可得出结论；②先求出AC，AB即可得出结论；
（3）利用平移的特点和AB，AC的长即可得出结论．

解：（1）∵抛物线P：y1＝a（x＋2）2－3过点A（1，3），

∴9a－3＝3，

∴a＝，

∴抛物线P：y1＝ （x＋2）2－3，

∵x轴，

∴点B的纵坐标为3，

∴3＝ （x＋2）2－3，

∴x1＝1（点A的横坐标），x2＝－5，

∴B（－5，3）．

（2）①∵抛物线Q：y2＝（x－t）2＋1过点A（1，3），

∴（1－t）2＋1＝3，

∴t1＝－1（舍去），t2＝3，

∴抛物线Q的解析式为：y2＝ （x－3）2＋1；

∵ x轴，

∴点C的纵坐标为3，

∴3＝（x－3）2＋1，

∴x1＝1（点A的横坐标），x2＝5，

∴C（5，3），

∴AC＝5－1＝4，

由（1）知，B（－5，3），

∴AB＝1－（－5）＝6，

∴＝＝；

（3）∵抛物线Q：y2＝（x－t）2＋1

∴抛物线Q的开口大小一定，顶点坐标的纵坐标是1也是定值，
∴抛物线Q只是左右移动，
当抛物线Q向右平移的过程中，点A在抛物线Q的左侧时，抛物线Q和线段AB有一个交点A，此时，t=3，
由（2）知，AC=4，将抛物线Q向左平移4个单位时，和线段AB有两个交点，此段，－1＜t3时，抛物线Q与线段AB有一个交点，
再继续把抛物线Q向左移动，移动到点B在抛物线Q的左侧时，此时，此时，t=－3，
同上，抛物线Q与线段AB有一个交点，－7t＜－3，
∵t＞0，
即：0＜t3，抛物线Q与线段AB有一个交点．