Question

（本小题满分12分）某班同学到野外活动，为测量一池塘两端A、B的距离，设计了几种方案，下面介绍两种：（I）如图（1），先在平地取一个可以直接到达A、B的点C，并分别延长AC到D，BC到E，使DC=AC，BC=EC，最后测出DE的距离即为AB的长。（II）如图（2），先过B点作AB的垂线BF，再在BF上取C、D两点，使BC=CD，接着过点D作BD的垂线DE，交AC的延长线于E，则测出DE的长即为AB的距离。阅读后回答下列问题：

【小题1】（1）方案（I）是否可行？为什么？
【小题2】（2）方案（II）是否切实可行？为什么？
【小题3】（3）方案（II）中作BF⊥AB，ED⊥BF的目的是           ；若仅满足∠ABD=∠BDE≠90°，方案（II）是否成立？
【小题4】（4）方案（II）中，若使BC=n·CD，能否测得（或求出）AB的长？理由是        ，若ED=m，则AB=     。

Answer 1

【小题1】（1）方案（I）可行；
∵DC=AC，EC=BC且有对顶角∠ACB=∠DCE，
∴△ACB≌△DCE（SAS），∴AB=DE，
∴测出DE的距离即为AB的长。故方案（I）可行。（3分）
【小题2】（2）方案（II）可行；
∵AB⊥BC，DE⊥CD，∴∠ABC=∠EDC=90°，
又∵BC=CD，∠ACB=∠ECD ，∴△ABC≌△EDC，∴AB=ED，
∴测出DE的长即为AB的距离。故方案（II）可行。（6分）
【小题3】（3）方案（II）中作BF⊥AB，ED⊥BF的目的是作直角三角形；
若∠ABD=∠BDE≠90°，∠ACB=∠ECD，∴△ABC∽△EDC，
∴，∴只要测出ED、BC、CD的长，即可求得AB的长。
∴ED的长不等于AB的长，∴方案（II）不成立。（9分）
【小题4】（4）根据（3）中所求可以得出，∴，∵BC=n•CD，
∴ ABED=n，求出DE即可得出答案，
当ED=m，则AB=mn。（12分）

解析