Question

如图，已知直线l的解析式为y=-x+6，它与x轴、y轴分别相交于A、B两点，平行于直线l的直线n从原点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t秒，运动过程中始终保持n∥l，直线n与x轴、y轴分别相交于C、D两点，线段CD的中点为P，以P为圆心，以CD为直径在CD上方作半圆，半圆面积为S，当直线n与直线l重合时，运动结束．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）求S与t的函数关系式及自变量t的取值范围；
（3）直线n在运动过程中，
①当t为何值时，半圆与直线l相切？
②是否存在这样的t值，使得半圆面积S=

1

2

S_梯形ABCD？若存在，求出t值．若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由直线l的解析式y=-x+6，令y=0求得A点坐标，x=0求得B点坐标；
（2）由面积公式S=

1

2

×π×(

|CD|

2

)2，CD=

2

OD=

2

t列出函数关系式，D在线段OA上运动，可得出t取值范围；
（3）①当两直线的距离为

|CD|

2

时，半圆与直线相切，即AD=

2

2

CD；
②由面积公式列出等量关系“

1

2

×π×(

|CD|

2

)2=

1

2

(AB+CD)×AD×

2

2

”求出t值．

解答：解：（1）∵y=-x+6，令y=0，得0=-x+6，x=6
∴A（6，0）
令x=0，得y=6
∴B=（0，6）

（2）∵OA=OB=6
∴△AOB是等腰直角三角形
∵n∥l
∴∠CDO=∠BAO=45°
∴△COD为等腰直角三角形
∴OD=OC=t
CD=

OC2+OD2

=

t2+t2

=

2

t
∴PD=

1

2

CD=

2

2

t
S=

1

2

πPD²=

1

2

π•(

2

2

t)2=

1

4

πt2
∴S=

1

4

πt2（0＜t≤6）

（3）
①分别过D、P作DE⊥AB于E、PF⊥AB于F
AD=OA-OD=6-t
在Rt△ADE中sin∠EAD=

DE

AD

DE=

2

2

•(6-t)
∴PF=DE=

2

2

(6-t)
当PF=PD时，半圆与l相切
即

2

2

(6-t)=

2

2

t
t=3
当t=3时，半圆与直线l相切．
②存在．
∵S_梯形ABCD=S_△AOB-S_△COD=

1

2

×6×6-

1

2

×t•t=18-

1

2

t2
S=

1

4

πt2
若S=

1

2

S_梯形ABCD，则

1

4

πt2=

1

2

(18-

1

2

t2)
（π+1）t²=36
t2=

36

π+1

t=

6

π+1

=

6 π+1

π+1

＜6
∴存在t=

6 π+1

π+1

，使得S=

1

2

S_梯形ABCD．

点评：本题为复杂的一次函数综合题，其中有坐标的求法，动点运动的函数关系式以及面积的求法．