Question

17．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=8cm，BC=10cm，AB=6cm，点Q从点A出发以1cm/s的速度向点D运动，点P从点B出发以2cm/s的速度向点C运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点C时，两点同时停止运动．若设运动时间为t（s）
（1）直接写出：QD=（8-t）（cm），PC=（10-2t）（cm）；（用含t的式子表示）
（2）当t为何值时，四边形PQDC为平行四边形？
（3）若点P与点C不重合，且DQ≠DP，当t为何值时，△DPQ是等腰三角形？

Answer 1

分析 （1）先有运动速度表示出AQ，BP，即可得出结论；
（2）先判断出DQ=PC，建立方程求解即可得出结论；
（3）分两种情况讨论计算，求出时间，判断时间是否符合题意．

解答 解：（1）由运动知，AQ=t，BP=2t，
∵AD=8，BC=10，
∴DQ=AD-AQ=（8-t）（cm），PC=BC-BP=（10-2t）（cm），
故答案为（8-t）（cm），（10-2t）（cm）；

（2）∵四边形PQDC是平行四边形，而AD∥BC，
∴DQ=PC，
由（1）知，DQ=8-t，PC=10-2t，
∴8-t=10-2t，
∴t=2，
即：t=2s时，四边形PQDC是平行四边形；

（3）由（1）知．AQ=t，BP=2t，DQ=（8-t）（cm），PC=（10-2t）（cm），
∵△DPQ是等腰三角形，且DQ≠DP，
∴①当DP=QP时，∴点P在DQ的垂直平分线上，
∴AQ+$\frac{1}{2}$DQ=BP，
∴t+$\frac{1}{2}$（8-t）=2t，
∴t=$\frac{8}{3}$，
②当DQ=PQ时，如图，
过点Q作QE⊥BC于E，
∴∠BEQ=∠OEQ=90°，
∵AD∥BC，∠B=90°，
∴∠A=∠B=90°，
∴四边形ABEQ是矩形，
∴EQ=AB=6，BE=AQ=t，
∴PE=BP-BE=t，
在Rt△PEQ中，PQ=$\sqrt{P{E}^{2}+E{Q}^{2}}$=$\sqrt{{t}^{2}+36}$，
∵DQ=8-t
∴$\sqrt{{t}^{2}+36}$=8-t，
∴t=$\frac{25}{4}$，
∵点P在边BC上，不和C重合，
∴0≤2t＜10，
∴0≤t＜5，
∴此种情况不符合题意，
即：t=$\frac{8}{3}$时，△DPQ是等腰三角形．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质，线段的垂直平分线定理，勾股定理，矩形的判定和性质，解（2）的关键的关键是用DQ=PC建立方程求解，解（3）的关键是分情况讨论，是一道中等难度的题目．