Question

如图，直线AB经过第一象限，分别与x轴、y轴交于A、B两点，P为线段AB上任意一点（不与A、B重合），过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为C、D．设OC=x，四边形OCPD的面积为S．
（1）若已知A（4，0），B（0，6），求S与x之间的函数关系式；
（2）若已知A（a，0），B（0，b），且当x=时，S有最大值，求直线AB的解析式；
（3）在（2）的条件下，在直线AB上有一点M，且点M到x轴、y轴的距离相等，点N在过M点的反比例函数图象上，且△OAN是直角三角形，求点N的坐标．

Answer 1

解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，
由A（4，0），B（0，6），得
解得

∴直线AB的解析式为．
∵OC=x，∴．
∴．
即（0＜x＜4）．
（2）设直线AB的解析式为y=mx+n，
∵OC=x，
∴P（x，mx+n）．
∴S=mx²+nx．
∵当x=时，S有最大值，
∴解得
∴直线AB的解析式为y=-2x+3．
∴A（，0），B（0，3）．
即，b=3．
（3）设点M的坐标为（x_M，y_M），
由点M在（2）中的直线AB上，
∴y_M=-2x_M+3．
∵点M到x轴、y轴的距离相等，
∴x_M=y_M或x_M=-y_M．
当x_M=y_M时，M点的坐标为（1，1）．
过M点的反比例函数的解析式为．
∵点N在的图象上，OA在x轴上，且△OAN是直角三角形，
∴点N的坐标为．
当x_M=-y_M时，M点的坐标为（3，-3），
过M点的反比例函数的解析式为．
∵点N在的图象上，OA在x轴上，且△OAN是直角三角形，
∴点N的坐标为．
综上，点N的坐标为或．
分析：（1）利用待定系数法求出直线AB的解析式，表示出点P的坐标，利用举行的面积公式就可以求出S与x之间的函数关系式．
（2）设直线AB的解析式，表示出点P的坐标及矩形的面积，将x=时，S有最大值代入解析式就可以求出系数的值．从而求出直线的解析式．
（3）设出点M的坐标由题意可以代入解析式分类讨论求出M的坐标，然后由M的坐标求出反比例的解析式，最后由△OAN是直角三角形就可以求出点N的坐标．
点评：本题试一道一次函数的综合试题，考查了待定系数法求直线函数的解析式及反比例函数的解析式，二次函数的解析式，直角三角形的性质的运用．解答中注意点M到x轴、y轴的距离相等的点有两个，不要漏掉．