Question

如图①、②、③中，点E、D分别是正△ABC、正四边形ABCM、正五边形ABCMN中以C点为顶点的相邻两边上的点，且BE=CD，DB交AE于P点．
（1）求图①中，∠APD的度数

 

；
（2）图②中，∠APD的度数为

 

，图③中，∠APD的度数为

 

；
（3）根据前面探索，你能否将本题推广到一般的正n边形情况？若能，写出推广问题和结论；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由观察图形可以看出∠APD是△APB的一个外角，∠APD=∠BAE+∠ABD．又可得出△ABE≌△BCD，由此便可求出∠APD的度数，∠APD=∠ABP+∠BAE=∠ABP+∠CBD=∠ABE=60°．
（2）∠APD易证等于∠M，即等于多边形的内角．
（3）点E、D分别是正n边形ABCM中以C点为顶点的相邻两边上的点，且BE=CD，BD与AE交于点P，∠APD等于正n边形的内角，就可以求出．

解答：解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABE=∠BCD=60°．
∵BE=CD，
∴△ABE≌△BCD．
∴∠BAE=∠CBD．
∴∠APD=∠ABP+∠BAE=∠ABP+∠CBD=∠ABE=60°．

（2）同理可证：△ABE≌△BCD，
∴∠AEB+∠DBC=180°-90°=90°，
∴∠APD=∠BPE=180°-90°=90°；
△ABE≌△BCD，
∴∠AEB+∠DBC=180°-108°=72°，
∴∠APD=∠BPE=180°-（∠AEB+∠DBC）=180°-72°=108°．

（3）能．如图，点E、D分别是正n边形ABCM中以C点为顶点的相邻两边上的点，
且BE=CD，BD与AE交于点P，则∠APD的度数为

(n-2)180°

n

．

点评：此题主要考查三角形全等的判定的应用，三角形外角的性质等知识，本题有一定的难度，特别是最后一问，要注意思考．