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20.如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=10,$\frac{BC}{AC}$=$\frac{3}{4}$,过AB边上一点P作PE⊥AC于点E,PF⊥BC于点F,则EF的最小值是$\frac{24}{5}$.

分析 先证明四边形EPFC是矩形,得出EF=CP,再过C作CD⊥AB于D,当EF=DC时最短,然后由面积求出DC即为EF的最小值.

解答 解:连接CP,如图所示:
∵∠ACB=90°,$\frac{BC}{AC}=\frac{3}{4}$,AB=10,
∴AC=8,BC=6,
∵PE⊥AC,PF⊥BC,
∴∠PEC=∠PFC=∠ACB=90°,
∴四边形EPFC是矩形,
∴EF=CP,
即EF表示C与边AB上任意一点的距离,
根据垂线段最短,
过C作CD⊥AB于D,
当EF=DC时最短,
根据三角形面积公式得:$\frac{1}{2}$AC×BC=$\frac{1}{2}$AB×CD,
∴CD=$\frac{6×8}{10}$=$\frac{24}{5}$,
故答案为:$\frac{24}{5}$.

点评 本题考查了矩形的判定与性质、垂线段最短、勾股定理以及三角形面积的计算;证明四边形EPFC是矩形得出EF=CP和由垂线段最短得出EF=DC是解决问题的关键.

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