Question

2．如图1，在平面直角坐标系中，点B与点C关于x轴对称，点D为x轴上一点，点A为射线CE上一动点，且∠BAC=2∠BDO，过D作DM⊥AB于M．

（1）求证：∠ABD=∠ACD；
（2）求证：AD平分∠BAE；
（3）当A点运动时（如图2），$\frac{AB-AC}{AM}$的值是否发生变化？若不变化，请求出其值；若变化，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由对称得∠BDO=∠CDO，从而∠BDC=2∠BDO，得到∠BAC=∠BDC，判断出A，D，B，C四点共圆，即可；
（2）由A，D，B，C四点共圆，得到∠EAD=∠CBD，简单的代换即可；
（3）作出辅助线DN⊥CE，判断出△BMD≌△CMD，代换化简即可．

解答 解：（1）∵B，C关于x轴对称，
∴∠BDC=2∠BDO，BD=CD，
∵∠BAC=2∠BD0，
∴∠BAC=∠BDC，
∴A，D，B，C四点共圆，
∴∠ACD=∠ABD，
（2）∵A，D，B，C四点共圆，
∴∠EAD=∠CBD，
∵CD=BC，
∴∠BCD=∠CBD=∠BAD，
∴∠EAD=∠BAD，
∴AD平分∠EAB，
（3）如图2，

$\frac{AB-AC}{AM}$的值是不发生变化，其值为2，
理由如下：作DN⊥CE，
∵DM⊥AB，
∴∠CND=∠BMD=90°，
∵AD平分∠EAB，
∴AM=AN，DM=DN，
∵∠ACD=∠ABD，
∴△BMD≌△CND，
∴BM=CN，
∴AB-AM=AC+AN，
∴AB-AC=AM+AN=2AM，
∴$\frac{AB-AC}{AM}$=2．

点评 此提示几何变换综合题，主要考查了对称的性质，四点共圆的判断方法，角平分线的性质和判定，全等三角形的判定和性质，解本题的关键是判断点A，D，B，C四点共圆，难点是构造全等三角形．