Question

如图，M、N分别为正方形ABCD的两边AD和DC的中点，CM与BN相交于点P．
求证：PA=AB．

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：延长CM交BA延长线于E，通过证明△BCN≌△CBM，所以∠CBN=∠DCM，所以∠DCM+∠BNC=90°，∠CPN=90°又因为A是RT△BPE斜边BE中点，进而证明AP=AB．

解答：证明：延长CM交BA延长线于E，
∵M为中点，AB∥CD，
∴AE=CD=AB，
∴A是BE中点，
在△BCN与△CDM中，

BC=CD ∠BCN=∠CDM CN=DM

，
∴△BCN≌△CDM（SAS），
∴∠CBN=∠DCM，
∴∠DCM+∠BNC=90°，∠CPN=90°
 又∵A是RT△BPE斜边BE中点，
∴AP=AB．

点评：本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质，题目的综合性较强，解题的关键是正确的作出辅助线，各种全等三角形．