Question

【问题】如图1、2是底面为1cm，母线长为2cm的圆柱体和圆锥体模型．现要用长为2πcm，宽为4cm的长方形彩纸（如图3）装饰圆柱、圆锥模型表面．已知一个圆柱和一个圆锥模型为一套，长方形彩纸共有122张，用这些纸最多能装饰多少套模型呢？
【对话】老师：“长方形纸可以怎么裁剪呢？”
学生甲：“可按图4方式裁剪出2张长方形．”
学生乙：“可按图5方式裁剪出6个小圆．”
学生丙：“可按图6方式裁剪出1个大圆和2个小圆．”
老师：尽管还有其他裁剪方法，但为裁剪方便，我们就仅用这三位同学的裁剪方法！
【解决】（1）计算：圆柱的侧面积是______cm²，圆锥的侧面积是______cm²．
（2）1张长方形彩纸剪拼后最多能装饰______个圆锥模型；5张长方形彩纸剪拼后最多能装饰______个圆柱体模型．
（3）求用122张彩纸对多能装饰的圆锥、圆柱模型套数．

Answer 1

解：（1）圆柱的地面底面周长是2π，则圆柱的侧面积是2π×2=4πcm²，圆锥的侧面积是×2π×2=2πcm²；

（2）圆柱的底面积是：πcm²，则圆柱的表面积是：6πcm2，圆锥的表面积是：3πcm2．
一张纸的面积是：4×2π=8π，
则1张长方形彩纸剪拼后最多能装饰 2个圆锥模型；5张长方形彩纸剪拼后最多能装饰6个圆柱体模型，

（3）设做x套模型，则每套模型中做圆锥的需要张纸，作圆柱需要张纸，
∴+≤122，
解得：x≤，
∵x是6的倍数，取x=90，做90套模型后剩余长方形纸片的张数是122-（45+75）=2张，
2张纸不够坐一套模型．
∴最多能做90套模型．
故答案是：4π，2π；2，6．
分析：（1）利用圆柱的侧面积公式以及扇形的面积公式即可求解；
（2）求得圆锥和圆柱的表面积，以及一张纸的面积，据此即可求得；
（3）设做x套模型，根据做圆柱和圆锥所用的纸的数不超过122张，即可列出不等式求解．
点评：考查了圆锥、圆柱的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．