Question

2．如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠DAB=60°，AE分别交BC、BD于点E、F，CE=2，连接CF，以下结论：①△ABF≌△CBF；②点E到AB的距离是2$\sqrt{3}$；③tan∠DCF=$\frac{3\sqrt{3}}{7}$；④△ABF的面积为12$\sqrt{3}$，其中一定成立的是①②③（把所有正确结论的序号都填在横线上）①②③．

Answer 1

分析 利用SAS证明△ABF与△CBF全等，得出①正确，根据含30°角的直角三角形的性质得出点E到AB的距离是2$\sqrt{3}$，得出②正确，同时得出；△ABF的面积为$\frac{18\sqrt{3}}{5}$；得出④错误，得出tan∠DCF=$\frac{3\sqrt{3}}{7}$，得出③正确．

解答 解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=6，
∵∠DAB=60°，
∴AB=AD=DB，∠ABD=∠DBC=60°，
在△ABF与△CBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABF=∠FBC}\\{BF=BF}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△CBF（SAS），
∴①正确；
过点E作EG⊥AB，过点F作MH⊥CD，MH⊥AB，如图：

∵CE=2，BC=6，∠ABC=120°，
∴BE=6-2=4，
∵EG⊥AB，
∴EG=2$\sqrt{3}$，
∴点E到AB的距离是2$\sqrt{3}$，
故②正确；
∵BE=4，EC=2，
∴S_△BFE：S_△FEC=4：2=2：1，
∴S_△ABF：S_△FBE=3：2，
∴△ABF的面积为=$\frac{3}{5}$S_△ABE=$\frac{3}{5}$×$\frac{1}{2}$×6×2$\sqrt{3}$=$\frac{18\sqrt{3}}{5}$，
故④错误；
∵S_△ADB=$\frac{1}{2}$×6×3$\sqrt{3}$=9$\sqrt{3}$，
∴S_△DFC=S_△ADB-S_△ABF=9$\sqrt{3}$-$\frac{18\sqrt{3}}{5}$=$\frac{27\sqrt{3}}{5}$，
∵S_△DFC=$\frac{1}{2}$×6×MF，
∴FM=$\frac{9\sqrt{3}}{5}$，
∴DM=$\frac{MF}{\sqrt{3}}$，
∴CM=DC-DM=6-$\frac{9}{5}$，
∴tan∠DCF=$\frac{MF}{CM}$=$\frac{3\sqrt{3}}{7}$，
故③正确；
故答案为：①②③

点评 此题考查了四边形综合题，关键是根据菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质分析．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．