分析 利用SAS证明△ABF与△CBF全等,得出①正确,根据含30°角的直角三角形的性质得出点E到AB的距离是2$\sqrt{3}$,得出②正确,同时得出;△ABF的面积为$\frac{18\sqrt{3}}{5}$;得出④错误,得出tan∠DCF=$\frac{3\sqrt{3}}{7}$,得出③正确.
解答 解:∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC=6,
∵∠DAB=60°,
∴AB=AD=DB,∠ABD=∠DBC=60°,
在△ABF与△CBF中,
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABF=∠FBC}\\{BF=BF}\end{array}\right.$,
∴△ABF≌△CBF(SAS),
∴①正确;
过点E作EG⊥AB,过点F作MH⊥CD,MH⊥AB,如图:
∵CE=2,BC=6,∠ABC=120°,
∴BE=6-2=4,
∵EG⊥AB,
∴EG=2$\sqrt{3}$,
∴点E到AB的距离是2$\sqrt{3}$,
故②正确;
∵BE=4,EC=2,
∴S△BFE:S△FEC=4:2=2:1,
∴S△ABF:S△FBE=3:2,
∴△ABF的面积为=$\frac{3}{5}$S△ABE=$\frac{3}{5}$×$\frac{1}{2}$×6×2$\sqrt{3}$=$\frac{18\sqrt{3}}{5}$,
故④错误;
∵S△ADB=$\frac{1}{2}$×6×3$\sqrt{3}$=9$\sqrt{3}$,
∴S△DFC=S△ADB-S△ABF=9$\sqrt{3}$-$\frac{18\sqrt{3}}{5}$=$\frac{27\sqrt{3}}{5}$,
∵S△DFC=$\frac{1}{2}$×6×MF,
∴FM=$\frac{9\sqrt{3}}{5}$,
∴DM=$\frac{MF}{\sqrt{3}}$,
∴CM=DC-DM=6-$\frac{9}{5}$,
∴tan∠DCF=$\frac{MF}{CM}$=$\frac{3\sqrt{3}}{7}$,
故③正确;
故答案为:①②③
点评 此题考查了四边形综合题,关键是根据菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质分析.此题难度较大,注意掌握辅助线的作法,注意数形结合思想的应用.
科目:初中数学 来源: 题型:解答题
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