Question

5．如图，某河大堤上有一颗大树ED，小明在A处测得树顶E的仰角为45°，然后沿坡度为1：2的斜坡AC攀行20米，在坡顶C处又测得树顶E的仰角为76°，已知ED⊥CD，并且CD与水平地面AB平行，求大树ED的高度．（精确到1米）
（参考数据：sin76°≈0.97，cos76°=0.24，tan76°≈4.01，$\sqrt{5}$=2.236）

Answer 1

分析 过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CG⊥AB于点G，先判断出四边形CDFG是矩形，再由锐角三角函数的定义求出AC的长，设CD=x米，则ED=CD•tan76°，在Rt△EAF中，根据EF=AF，即ED+DF=AG+GF可得出x的值，进而可得出结论．

解答 解：过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CG⊥AB于点G，
∵ED⊥CD，CD∥AB，
∴D、E、F三点共线，
∴四边形CDFG是矩形，
∴CD=GF，DF=CG．
在Rt△ACG中，
∵坡度为1：2，
∴CG：AG=1：2，
∴AG：AC=2：$\sqrt{5}$．
∵AC=20米，
∴AG=8$\sqrt{5}$米，CG=4$\sqrt{5}$米．
在Rt△CDE中，∠ECD=76°，设CD=x米，则ED=CD•tan76°≈4.01x（米）．
在Rt△EAF中，
∵∠EAF=45°，
∴EF=AF，即ED+DF=AG+GF，
∴4.01x+4$\sqrt{5}$=8$\sqrt{5}$+x，
∴x=2.99，
∴ED=4.01×2.99=12（米）．
答：大树ED的高约为12米．

点评 本题考查的是解直角三角形的应用，仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．