Question

如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，∠C=60°，AD=3cm，BC=9cm．⊙O₁的圆心O₁从点A开始沿折线A-D-C以1cm/s的速度向点C运动，⊙O₂的圆心O₂从点B开始沿BA边以cm/s的速度向点A运动，⊙O₁半径为2cm，⊙O₂的半径为4cm，若O₁、O₂分别从点A、点B同时出发，运动的时间为t．
（1）请求出⊙O₂与腰CD相切时t的值；
（2）在0s＜t≤3s范围内，当t为何值时，⊙O₁与⊙O₂外切？

Answer 1

解：（1）如图所示，设点O₂运动到点E处时，⊙O₂与腰CD相切．
过点E作EF⊥DC，垂足为F，则EF=4cm．
方法一：作EG∥BC，交DC于G，作GH⊥BC，垂足为H．
由直角三角形GEF中，∠EGF+∠GEF=90°，
又∠EGF+∠CGH=90°，
∴∠GEF=∠CGH=30°，
设FG=xcm，则EG=2xcm，又EF=4cm，
根据勾股定理得：x²+4²=（2x）²，解得x=，
则HB=GE=cm，又在直角三角形CHG中，∠C=60°，
∴CH=（9-）cm，
则EB=GH=CHtan60°=cm．
所以，t=（）秒．
方法二：延长EA、FD交于点P．通过相似三角形，也可求出EB长．
方法三：连接ED、EC，根据面积关系，列出含有t的方程，直接求t．

（2）由于0s＜t≤3s，所以，点O₁在边AD上．
如图连接O₁O₂，则O₁O₂=6cm．
由勾股定理得，
t²+（6-t）²=6²，
即t²-9t+18=0．
解得：t₁=3，t₂=6（不合题意，舍去）．
所以，经过3秒，⊙O₁与⊙O₂外切．
分析：（1）先设⊙O₂运动到E与CD相切，且切点是F；连接EF，并过E作EG∥BC，交CD于G，再过G作GH⊥BC于H，那么就得到直角三角形EFG和矩形GEBH．
要求⊙O₂与CD相切的时间，可以先求出⊙O₂从B到E所走的路程BE，即GH的长，再除以运动速度即可．
那么求GH的值就是关键，由∠C=60°，可以知道∠CGH=30°，那么∠FGE=60°．
在Rt△EFG中，可以利用勾股定理求出EG的值，那么CH=BC-BH=BC-EG．在Rt△CGH中，利用60°的角的正切值可求出GH的值，此问就可解了．
（2）因为s＜t＜3s，所以O₁一定在AD上，连接O₁O₂．
利用勾股定理可得到关于t的一元二次方程，求解即可，根据要求，可选择t的值．
点评：本题利用了切线的性质，勾股定理，正切值的计算，以及公式s=vt，矩形的判定和性质，两圆外切的性质．
注意用含t的代数式来表示线段的长．