Question

14．如图，直线AB与双曲线y=$\frac{k}{x}$（k≠0）交于A，B两点，与坐标轴分别交于C，D两点，连接OA，若OA=2$\sqrt{13}$，tan∠AOC=$\frac{2}{3}$，B（-3，m）．
（1）求直线AB与反比例函数的解析式；
（2）连接OB，在y轴上找一点P，使得△AOP的面积等于△AOB的面积．

Answer 1

分析 （1）过A作AE⊥OC与E，根据已知条件和勾股定理得到A（-6，4），由直线AB与双曲线y=$\frac{k}{x}$交于A，B两点，得到k=-6×4=-3m，解方程和方程组即可得到结论；
（2）设P（0，n），根据△AOP的面积等于△AOB的面积，列方程即可得到结论．

解答 解：（1）过A作AE⊥OC与E，
∵tan∠AOC=$\frac{2}{3}$，
∴设AE=2x，OE=3x，
∴AO=$\sqrt{（2x）^{2}+（3x）^{2}}$=$\sqrt{13}$x=2$\sqrt{13}$，
∴x=2，
∴AE=4，OE=6，
∴A（-6，4），
∴直线AB与双曲线y=$\frac{k}{x}$交于A，B两点，
∴k=-6×4=-3m，
∴k=-24，m=8，
∴反比例函数式为y=-$\frac{24}{x}$，B（-3，8），
设一次函数的解析式为y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=8}\\{-6k+b=4}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{4}{3}}\\{b=12}\end{array}\right.$，
∴一次函数的解析式为y=$\frac{4}{3}$x+12；

（2）设P（0，n），
∵△AOP的面积等于△AOB的面积，
∴$\frac{1}{2}$|n|×6=$\frac{1}{2}$（4+8）×3，
∴n=±6，
∴P（0，6）或（0，-6）．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式，三角形的面积，难度适中．正确求出函数解析式是解题的关键．