Question

4．已知⊙O为△ABC的外接圆，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交⊙O于点D
（1）如图1，求证：BD=ED；
（2）如图2，AD为⊙O的直径．若BC=6，sin∠BAC=$\frac{3}{5}$，求OE的长．

Answer 1

分析 （1）连接BE．依据三角形的内心的性质以及圆周角定理证明∠DBE=∠DEB即可；
（2）连接OB．先证明圆周角定理和三角形的内心的性质可知∠BAC=∠BOF，依据锐角三角函数的定义可求得OB的长，然后依据勾股定理可求得OF的长于是得到DF的长，接下来，在△BDF中，由勾股定理可求得BD的长，依据问题（1）的结论可得到DE的长，从而求得OE的长．

解答 解：（1）证明：连接BE．

∵是△ABC的内心，
∴∠ABE=∠CBE，∠BAD=∠CAD．
∵∠DBC=∠CAD．
∴∠DBC=∠BAD．
∵∠BED=∠BAD+∠ABE，
∴∠DBE=∠DEB．
∴BD=ED．
（2）如图2所示；连接OB．

∵AD是直径，A平分∠BAC，
∴AD⊥BC，且BD=FC=3．
∵∠BAC=∠BOD，sin∠BAC=$\frac{3}{5}$，BF=3，
∴OB=5．
∵在Rt△BOF中，BF=3，OB=5，
∴OF=$\sqrt{O{B}^{2}-B{F}^{2}}$=4．
∴DF=1．
在Rt△BDF中，BF²+DF²=BD²．
∴BD=$\sqrt{10}$．
∴DE=$\sqrt{10}$．
使用OE=5-$\sqrt{10}$．

点评 本题主要考查的是三角形的内心的性质、勾股定理的应用、圆周角定理、锐角三角函数的定义，依据锐角三角函数的定义求得OB的长度是解题的关键．