Question

【题目】如图①，△ABC是等边三角形，点P是BC上一动点（点P与点B、C不重合），过点P作PM∥AC交AB于M，PN∥AB交AC于N，连接BN、CM．

（1）求证：PM+PN＝BC；

（2）在点P的位置变化过程中，BN＝CM是否成立？试证明你的结论；

（3）如图②，作ND∥BC交AB于D，则图②成轴对称图形，类似地，请你在图③中添加一条或几条线段，使图③成轴对称图形（画出一种情形即可）．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）结论成立，理由见解析；（3）见解析

【解析】

（1）先证明△BMP，△CNP是等边三角形，再证明△BPN≌△MPC，从而PM=PB，PN=PC，可得PM+PN＝BC；

（2）BN＝CM总成立，由（1）知△BPN≌△MPC，根据全等三角形的性质可得结论；

（3）作ND∥BC交AB于N，作ME∥BC交AC于M，作EF∥AB交BC于F，连接DF即可．

（1）证明：∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝BC，∠ABC＝∠ACB＝60°，

∵PM∥AC，PN∥AB，

∴∠BPM＝∠ACB＝60°，∠CPN＝∠ABC＝60°，

∴△BMP，△CNP是等边三角形，

∴∠BPM＝∠CPN＝60°，PN=PC，PN=PC，

∴∠BPN＝∠MPC，

∴△BPN≌△MPC，

∴PM=PB，PN=PC，

∵BP+PC＝BC，

∴PM+PN＝BC;

（2）BN＝CM总成立，理由：

由（1）知△BPN≌△MPC，

∴BN＝CM；

（3）解：如图③即为所求．

作ND∥BC交AB于N，作ME∥BC交AC于M，作EF∥AB交BC于F，连接DF，作直线AH⊥BC交BC于H，

同（1）可证△AND，△AME，△BPM，△CEF都是等边三角形，

∴D与N，M与E，B与C关于AH对称.

∴BM=CE，

∴BM=CF，

∴P与F关于AH对称，

∴所做图形是轴对称图形.