[题目]如图.正方形的对角线.相交于点． (1) (2) (1)若点是上一点.连接.过点作.垂足为.与相交于点．求证:,(2)若点在的延长线上.于点.交的延长线于点.其他条件不变结论“ 还成立吗?如果成立.请给出证明,如果不成立.请说明理由．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】如图，正方形的对角线，相交于点．

（1）（2）

（1）若点是上一点，连接，过点作，垂足为，与相交于点．求证：；

（2）若点在的延长线上，于点，交的延长线于点，其他条件不变结论“”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．

【答案】（1）证明见解析；（2）“OE = OF”仍然成立；理由见解析．

【解析】

（1）由四边形ABCD为平行四边形，得到对角线垂直且互相平分，再由DM与AE垂直，得到一组对角相等，进而得到≌，利用全等三角形对应边相等即可得证；

（2）其他条件不变．结论“OE=OF”还成立，理由为：同（1）得到全等三角形，即可得证．

（1）证明：∵正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，

∴，．

∴

∵，，

∴．

∴≌．

∴．

（2）结论：“OE = OF”仍然成立

证明：∵正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，

∴，．

∴．

∵，，

∴．

∴≌．

∴．

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（1）小明被分配到“半程马拉松”项目组的概率为________．

（2）为估算本次赛事参加“半程马拉松”的人数，小明对部分参赛选手作如下调查：

调查总人数	20	50	100	200	500
参加“半程马拉松”人数	15	33	72	139	356
参加“半程马拉松”频率	0.750	0.660	0.720	0.695	0.712

①请估算本次赛事参加“半程马拉松”人数的概率为_______．（精确到0.1）

②若本次参赛选手大约有3000人，请你估计参加“半程马拉松”的人数是多少？

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解：，证明如下：

过点作，交于点

则为等腰直角三角形

（依据）

在与中

（依据）

（1）反思交流：上述证明过程中的“依据”和“依据”分别是指：

依据：

拓展延伸：（2）在图2中，与延长线交于点，试判断与的数量关系，并写出证明过程

（3）在图3中，与延长线交于点，试判断与的数量关系，并写出证明过程．

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