Question

如图，已知等边△ABC中，D为AC上一动点．CD=nAD，连接BD，M为线段BD上一点，∠AMD=60°，AM交BC于E．
（1）若n=1，如图1，则

BE

CE

=

1

，

BM

DM

=

2

；
（2）若n=2，如图2，求证：2AB=3BE；
（3）当

BE

AB

=

7

9

时，则n的值为

3.5

．

Answer 1

分析：（1）根据等腰三角形三线合一的性质可得BD⊥AC，再根据∠AMD=60°推出∠CAE=30°，从而得到AE为∠BAC的平分线，再利用等腰三角形三线合一的性质可得BE=CE，即可得解；根据等边三角形的性质求出∠BAM=∠ABM=30°，根据等角对等边的性质可得AM=BM，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AM=2DM，等量代换求解即可；
（2）先根据∠AMD=60°结合等边三角形每一个角都是60°推出∠ABD=∠CAE，然后利用“角边角”证明△ABD与△CAE全等，根据全等三角形对应边相等可得AD=CE，然后推出CD=BE，整理即可得证；
（3）用AB表示出BE、CE，然后根据（2）的结论可知n=

BE

CE

，进行计算即可得解．

解答：（1）解：当n=1时，CD=AD，
∵△ABC是等边三角形，
∴BD⊥AC，
∵∠AMD=60°，
∴∠CAE=90°-∠AMD=90°-60°=30°，
又∵等边△ABC中，∠BAC=60°，
∴∠BAE=∠BAC-∠CAE=60°-30°=30°，
∴AE为∠BAC的平分线，
∴BE=CE（等腰三角形三线合一），
∴

BE

CE

=1，
∵BD⊥AC，∠BAC=60°，
∴∠ABD=30°，
∴∠BAE=∠ABD=30°，
∴AM=BM，
在Rt△AMD中，AM=2MD（直角三角形30°所对的直角边等于斜边的一半），
∴BM=2MD，
故

BM

MD

=2；

（2）证明：在等边△ABC中，∠BAC=∠BAE+∠CAE=60°，
∵∠AMD=60°，
∴∠BAE+∠ABD=∠AMD=60°，
∴∠ABD=∠CAE，
在△ABD与△CAE中，

∠ABD=∠CAE AB=AC ∠BAC=∠C=60°

，
∴△ABD≌△CAE（ASA），
∴AD=CE，
又∵AC=BC，
∴AC-AD=BC-CE，
即CD=BE，
∵n=2，
∴CD=2AD，
∴BE=2CE，
∴BE=2（BC-BE）=2（AB-BE）=2AB-2BE，
整理得2AB=3BE；

（3）∵

BE

AB

=

7

9

，
∴BE=

7

9

AB=

7

9

BC，
∴CE=BC-BE=BC-

7

9

BC=

2

9

BC，
根据（2）的结论，CD=BE，AD=CE，
∴n=

CD

AD

=

BE

CE

=

7 9 BC

2 9 BC

=3.5．
故答案为：（1）1，2；（3）3.5．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的三条边都相等，每一个角都是60°的性质，以及等腰三角形三线合一的性质，证明出△ABD与△CAE全等是解答本题的关键，也是难点．