Question

求证：不论a是什么实数，二次函数y=x²+ax+a-2的图象都与x轴相交于两个不同的点，并且求这两点间距离最小时的二次函数的解析式．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：

分析：根据函数与方程的关系，求出△的值，若为正数，则此函数图象与x轴总有两个交点；再根据根据二次函数图象与x轴的两个交点的距离公式解答即可．

解答：证明：（1）∵△=a²-4（a-2）=（a-2）²+4，
又∵=（a-2）²≥0，
∴（a-2）²+4＞0，
∴不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点；
（2）设x₁、x₂是y=x²+ax+a-2=0的两个根，则x₁+x₂=-a，x₁•x₂=a-2，因两交点的距离是w，
则w=|x1-x2|=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂
=（-a）²-4（a-2）=（a-2）²+4，
当这两点间距离最小时则a=2，
∴二次函数的解析式y=x²+2x．

点评：本题考查了抛物线与x轴的交点，熟悉二次函数与一元二次方程的关系和坐标轴上两点距离公式|x₁-x₂|，并熟练运用是解题的关键．