Question

2．已知a＞0，直线L₁：y=-$\frac{1}{4a}$与y轴交于点N，点N关于原点的对称点为点M，过点M的直线L₂与抛物线y=ax²在第二象限交于点A，与直线L₁交于点B，且MA=MB，平移直线L₂，使之与抛物线有唯一公共点，且与y轴交于点P．求证：$\frac{OM}{OP}$为一定值．

Answer 1

分析 既然要证明OM与OP的比值为定值，那么只需分别表示出两条线段的长度，然后作商即可．易求N、M的坐标，从而求得MN的长度，由于M是AB中点，于是考虑作AH垂直BN于H，则AH的长度是MN的2倍，进而求出A的纵坐标，代入抛物线解析式求得A的坐标，接着可得出直线AB的解析式，平移后的直线与AB是平行的，因此只需设出平移后的直线的截距，然后将平移后的直线解析式与抛物线的解析式联立方程组，利用判别式为0得出截距，即可得出P点坐标，接着即可算出OM与OP的长度，两者相比必为常数．

解答 证明：∵y=-$\frac{1}{4a}$与y轴交于点N，
∴N（0，-$\frac{1}{4a}$），
∵点N关于原点的对称点为点M，
∴M（0，$\frac{1}{4a}$），
∴MN=$\frac{1}{2a}$，
过点A作AH⊥BN于H，如图，

∵MA=MB，
∴AH=2MN=$\frac{1}{a}$，
∴A点的纵坐标为$\frac{1}{a}-\frac{1}{4a}=\frac{3}{4a}$，
∵A点在抛物线y=ax²上，且在第二象限，
∴A（$-\frac{\sqrt{3}}{2a}$，$\frac{3}{4a}$），
∴B（$\frac{\sqrt{3}}{2a}$，$-\frac{1}{4a}$），
∴直线AB的解析式为：$y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x+\frac{1}{4a}$，
设将AB平移到与抛物线有唯一公共点时对应的直线解析式为：$y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x+b$，
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x+b}\\{y=a{x}^{2}}\end{array}\right.$，消去y整理得：$3a{x}^{2}+\sqrt{3}x-3b=0$，
∴△=3+36ab=0，
∴$b=-\frac{1}{12a}$，
∴P（0，-$\frac{1}{12a}$），
∴OP=$\frac{1}{12a}$，OM=$\frac{1}{4a}$，
∴$\frac{OM}{OP}=3$（定值）．

点评 本题主要考查了二次函数的性质、坐标点的对称，中位线、待定系数法求一次函数解析式，直线的平移，二元二次方程组，一元二次方程根的判别式等知知识点，题虽小，综合性却很强，有一定难度．求得AB的解析式进而求出P点坐标是解决本题的关键所在．