Question

9．如图，在面积为21cm²的矩形ABCD中，DE平分∠ADC交BC于点E，EF⊥AD交AD于点F，若EF=3，则AE=5cm．

Answer 1

分析 由矩形的性质得出∠B=∠C=∠ADC=90°，AB=CD，再证明四边形CDFE是正方形，得出CD=CE=EF=3cm，由矩形ABCD的面积求出BC，得出BE，再由勾股定理求出AE即可．

解答 解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=∠ADC=90°，AB=CD，
∵EF⊥AD，
∴∠EFD=90°，
∴四边形CDFE是矩形，
∵DE平分∠ADC，
∴∠CDE=45°，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∴CD=CE，
∴四边形CDFE是正方形，
∴CD=CE=EF=3cm，
∵矩形ABCD的面积=BC•CD=21cm²，
∴BC=7cm，
∴BE=BC-CE=4cm，
∵AB=CD=3cm，
∴AE=$\sqrt{A{B}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5（cm）．
故答案为：5cm．

点评 本题考查了矩形的性质与判定、正方形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．