Question

【题目】如图，BF和CE分别是钝角△ABC（∠ABC是钝角）中AC、AB边上的中线，又BF⊥CE，垂足是G，过点G作GH⊥BC，垂足为H．

（1）求证：GH2=BHCH；

（2）若BC=20，并且点G到BC的距离是6，则AB的长为多少？

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）2

【解析】

（1）只要证明△CGH∽△GBH即可解决问题；

（2）作EM⊥CB交CB的延长线于M．设CH=x，HB=y．构建方程组求出x、y，解直角三角形求出EM、BM即可.

（1）证明：∵CE⊥BF，GH⊥BC，

∴∠CGB=∠CHG=∠BHG=90°，

∴∠CGH+∠BGH=90°，∠BGH+∠GBH=90°，

∴∠CGH=∠GBH，

∴△CGH∽△GBH，

∴，

∴GH2=BHCH；

（2）解：作EM⊥CB交CB的延长线于M．设CH=x，HB=y．

则有，解得或，

∵∠ABC是钝角，

∴CH＞BH，

∴CH=18，BH=2，

∵G是△ABC的重心，∴CG=2EG，

∵GH⊥BC，EM⊥BC，

∴GH∥EM，

∴，

∴EM=9，CM=27，

∴BM=CM﹣BC=7，

∴BE=，

∴AB=2BE=2．