Question

方程x³+（1-3a）x²+2a²x-2ax+x+a²-a=0有且只有一个根．求a的取值范围．

Answer 1

分析：首先把方程分解因式变为（x-a）[x²-（2a-1）x-（a-1）]=0，由于方程x³+（1-3a）x²+2a²x-2ax+x+a²-a=0有且只有一个根，由此利用判别式即可求出a的取值范围．

解答：解：∵x³+（1-3a）x²+2ax-2ax+x+a²-a=0，
∴x³-3ax²+2a²x+x²-（2a-1）x+a²-a=0，
∴x（x-a）（x-2a）+（x-a）[x-（a-1）]=0，
∴（x-a）[x²-（2a-1）x-（a-1）]=0，
∵方程x³+（1-3a）x²+2a²x-2ax+x+a²-a=0有且只有一个根，
∴x²-（2a-1）x-（a-1）=0无解，
∴△=（2a-1）²+4（a-1）＜0，
∴4a²-3＜0，
∴-

3

2

＜a＜

3

2

．

点评：此题主要考查了高次方程的解的问题，解题的关键是首先把方程分解因式，然后利用判别式即可求解．