Question

如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD(不含B点)上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．

(1)求证：△AMB≌△ENB；

(2)①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；

②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；

(3)当AM＋BM＋CM的最小值为时，求正方形的边长．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵△ABE是等边三角形， 　　∴BA＝BE，∠ABE＝60°． 　　∵∠MBN＝60°， 　　∴∠MBN－∠ABN＝∠ABE－∠ABN． 　　即∠BMA＝∠NBE． 　　又∵MB＝NB， 　　∴△AMB≌△ENB(SAS)．　5分 　　(2)①当M点落在BD的中点时，AM＋CM的值最小．　7分 　　②如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时， 　　AM＋BM＋CM的值最小．　9分 　　理由如下：连接MN．由⑴知，△AMB≌△ENB， 　　∴AM＝EN． 　　∵∠MBN＝60°，MB＝NB， 　　∴△BMN是等边三角形． 　　∴BM＝MN． 　　∴AM＋BM＋CM＝EN＋MN＋CM．　10分 　　根据“两点之间线段最短”，得EN＋MN＋CM＝EC最短 　　∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小，即等于EC的长．　11分 　　(3)过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F， 　　∴∠EBF＝90°－60°＝30°． 　　设正方形的边长为x，则BF＝x，EF＝． 　　在Rt△EFC中， 　　∵EF2＋FC2＝EC2， 　　∴()2＋(x＋x)2＝．　12分 　　解得，x＝(舍去负值)． 　　∴正方形的边长为．　13分