分析 (1)利用已知条件和矩形的性质易证△AEO≌△CFO,进而可得四边形AECF是平行四边形,又因为EF⊥AC,所以可证明四边形AECF是菱形
(2)设AE=CE=x,则DE=4-x,在直角三角形EDC中,利用勾股定理可求出x的值,进而可求出菱形的周长.
解答 (1)证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴AO=CO,AD∥BC,
∴∠OAE=∠OCF,
∵EF⊥AC,
∴∠AOE=∠COF=90°,
在△AEO和△CFO中,
$\left\{\begin{array}{l}{∠OAE=∠OCF}\\{AO=CO}\\{∠AOE=∠COF}\end{array}\right.$,
∴△AEO≌△CFO,
∴OE=OF,
∵AO=CO,
∴四边形AECF是平行四边形,
∵EF⊥AC,
∴四边形AECF是菱形;
(2)解:∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=CD=3,BC=AD=4,
AE=CE=x,则DE=4-x,在直角三角形EDC中由勾股定理可得:CE2=DE2+CD2,
即a2=(4-a)2+32,
解得:a=$\frac{25}{8}$,
∴菱形AECF的周长=4×$\frac{25}{8}$=12.5.
点评 本题考查了矩形的性质、菱形的判定和性质以及勾股定理的运用,熟记各种特殊四边形的判定方法和性质是解题关键.
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A. | $\frac{\sqrt{4}}{3}$ | B. | 0 | C. | 0.$\stackrel{•}{7}$ | D. | $\root{3}{9}$ |
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