Question

如图，一次函数y=-x+3的图象交x轴于点A，交y轴于点Q，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点为C，其图象过A、Q两点，并与x轴交于另一个点B（B点在A点左侧），△ABC三内角∠A、∠B、∠C的对边为a，b，c．若关于x的方程a（1-x²）+2bx+c（1+x²）=0有两个相等实数根，且a=b；
（1）试判定△ABC的形状；
（2）当

AB

AQ

=

2

3

时求此抛物线的解析式；
（3）抛物线上是否存在点P，使S_△ABP=S_{四边形ACBQ}？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）可将题中给出的方程进行整理，已知了方程有两个相同的实数根，那么方程的△=0，然后联立a=b，即可判断出三角形ABC的形状．
（2）可先根据直线AQ的解析式求出A、Q的坐标，进而可求出线段AQ的长，根据AB、AQ的比例关系式，可求出AB的长，即可得出B点坐标，然后根据已知的A、B、Q的坐标，用待定系数法求出抛物线的解析式．
（3）可先求出四边形ACBQ的面积，然后根据三角形ABP和四边形ACBQ面积相等，即可得出三角形ABP的面积，AB长为定值，可求出P点纵坐标的绝对值，将其代入抛物线的解析式中，即可求出P点坐标．

解答：解：（1）方程整理得（c-a）x²+2bx+（c+a）=0；
由方程有两个相等的实数根
得△=0
即

c2=a2+b2 a=b

即△ABC为等腰直角三角形．

（2）在y=-x+3中，令x=0，则y=3；令y=0，则x=3；
∴A（3，0），Q（0，3）；
设B点坐标为（x，0）；
∴AB=3-x
在Rt△AOQ中，AQ=

32+32

=3

2

，
∵

AB

AQ

=

2

3

，
∴

3-x

3 2

=

2

3

，
解之得：x=1，
∴B（1，0），
∵抛物线过A、B、Q三点，则有：

9a+3b+c=0 a+b+c=0 c=3

，
解得

a=1 b=-4 c=3

∴抛物线的解析式为y=x²-4x+3．

（3）假设抛物线上有点P，坐标为（x，y）；
∴S_△ABP=

1

2

×AB×|y|=|y|；
S_{四边形ACBQ}=S_△ABC+S_△ABQ
=

1

2

×2×1+

1

2

×2×3=4
由S_△ABP=S_{四边形ACBQ}，得|y|=4；
∴y=±4；
当y=4时，x²-4x+3=4；解得x=2+

5

，x=2-

5

；
当y=-4时，x²-4x+3=-4，△＜0，方程无解．
∴抛物线上存在点P的，其坐标为（2+

5

，4）或（2-

5

，4）．

点评：本题考查了等腰直角三角形的判定、二次函数解析式的确定、图形面积的求法等知识．