【题目】如图，已知抛物线
与x轴负半轴相交于点A，与y轴正半轴相交于点B，
，直线l过A、B两点，点D为线段AB上一动点，过点D作
轴于点C，交抛物线于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若抛物线与x轴正半轴交于点F，设点D的横坐标为x，四边形FAEB的面积为S，请写出S与x的函数关系式，并判断S是否存在最大值，如果存在，求出这个最大值；并写出此时点E的坐标；如果不存在，请说明理由．
（3）连接BE，是否存在点D，使得
和
相似？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）
；（2）
与x的函数关系式为
，S存在最大值，最大值为18，此时点E的坐标为
．（3）存在点D，使得
和
相似，此时点D的坐标为
或
．
【解析】
利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点A、B的坐标，结合
即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论；
由点A、B的坐标可得出直线AB的解析式
待定系数法
，由点D的横坐标可得出点D、E的坐标，进而可得出DE的长度，利用三角形的面积公式结合
即可得出S关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题；
由
、
，利用相似三角形的判定定理可得出：若要和相似，只需
或
，设点D的坐标为
，则点E的坐标为
，进而可得出DE、BD的长度
当时，利用等腰直角三角形的性质可得出
，进而可得出关于m的一元二次方程，解之取其非零值即可得出结论；
当
时，由点B的纵坐标可得出点E的纵坐标为4，结合点E的坐标即可得出关于m的一元二次方程，解之取其非零值即可得出结论
综上即可得出结论．
当
时，有
，
解得：
，
，
点A的坐标为
．
当
时，
，
点B的坐标为
．
，
，解得：
，
抛物线的解析式为．
点A的坐标为，点B的坐标为
，
直线AB的解析式为
．
点D的横坐标为x，则点D的坐标为
，点E的坐标为
，
如图
．
点F的坐标为
，点A的坐标为，点B的坐标为，
，
，
，
．
，
当
时，S取最大值，最大值为18，此时点E的坐标为，
与x的函数关系式为，S存在最大值，最大值为18，此时点E的坐标为．
，，
若要和相似，只需或
如图
．
设点D的坐标为，则点E的坐标为，
，
当时，，
，
，
为等腰直角三角形．
，即
，
解得：
舍去，
，
点D的坐标为；
当时，点E的纵坐标为4，
，
解得：
，
舍去，
点D的坐标为．
综上所述：存在点D，使得和相似，此时点D的坐标为或．
故答案为：（1）；（2）与x的函数关系式为，S存在最大值，最大值为18，此时点E的坐标为．（3）存在点D，使得和相似，此时点D的坐标为或．
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【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2，点D是AC边的中点，E是直线BC上一动点，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接AF、EF，在点E的运动过程中线段AF的最小值为_____．
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【题目】在平面直角坐标系中，四边形
是矩形，点
，点
，点
．以
点为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形
，点
的对应点分别为
，记旋转角为
．
(1)如图①，当
时，求点
的坐标；
(2)如图②，当点
落在
的延长线上时，求点的坐标；
(3)当点落在线段
上时，求点的坐标（直接写出结果即可）．
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【题目】如图①，抛物线
过
、
两点，交
轴于点
，连接
．
（1）求该抛物线的表达式和对称轴；
（2）点
是抛物线对称轴上一动点，当
是以为直角边的直角三角形时，求所有符合条件的点的坐标；
（3）如图②，将抛物线在上方的图象沿折叠后与轴交与点
，求点的坐标．
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【题目】（本题9分）据报道，“国际剪刀石头布协会”提议将“剪刀石头布”作为奥运会比赛项目．某校学生会想知道学生对这个提议的了解程度，随机抽取部分学生进行了一次问卷调查，并根据收集到的信息进行了统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
（1）接受问卷调查的学生共有___名，扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为___；请补全条形统计图；
（2）若该校共有学生900人，请根据上述调查结果，估计该校学生中对将“剪刀石头布”作为奥运会比赛项目的提议达到“了解”和“基本了解”程度的总人数；
（3）“剪刀石头布”比赛时双方每次任意出“剪刀”、“石头”、“布”这三种手势中的一种，规则为：剪刀胜布，布胜石头，石头胜剪刀，若双方出现相同手势，则算打平．若小刚和小明两人只比赛一局，请用树状图或列表法求两人打平的概率．
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【题目】某网店专售一款电动牙刷，其成本为20元/支，销售中发现，该商品每天的销售量y（支）与销售单价x（元/支）之间存在如图所示的关系．
（1）请求出y与x的函数关系式；
（2）该款电动牙刷销售单价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少元？
（3）近期武汉爆发了“新型冠状病毒”疫情，该网店店主决定从每天获得的利润中抽出 200 元捐赠给武汉，为了保证捐款后每天剩余利润不低于550元，如何确定该款电动牙刷的售单价？
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【题目】为了促进各科均衡发展，学校准备在九年级下期开设四科补短班，分别是英语、数学、物理和化学．为提前了解同学们最想参加的科目，学校在开学前采用随机抽样方式进行了调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息完成以下问题．
（1）扇形统计图中，“英语”所在扇形的圆心角度数是 ，并补全条形统计图；
（2）在被调查的学生中，选择化学的有2名女同学，其余为男同学，现要从中随机抽取2名同学参加学科座谈会，请用画树状图或列表的方法求出所抽取的2名同学恰好是1名男同学和1名女同学的概率．
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【题目】已知二次函数
.
（1）求函数图象的顶点坐标，对称轴和与坐标轴的交点坐标，并画出函数的大致图象.
（2）若
是函数图象上的两点，且
，请比较
的大小关系（直接写出结果）.
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【题目】如图，在平面直角坐标系中，坐标原点O是正方形OABC的一个顶点，已知点B坐标为（1，7），过点P（a，0）（a＞0）作PE⊥x轴，与边OA交于点E（异于点O、A），将四边形ABCE沿CE翻折，点A′、B′分别是点A、B的对应点，若点A′恰好落在直线PE上，则a的值等于（ ）
A.
B.
C.2D.3
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