以点A为顶点的四边形OABC在平面直角坐标系中位置如图.现将四边形OABC沿直线AC折叠使点B落在点D处.AD交OC于E．(1)试求E点坐标及直线AE的解析式,(2)试求经过点O.D.C三点抛物线的解析式及顶点F的坐标,(3)一动点P从点A出发.沿射线AB以每秒一个单位长度的速度匀速运动．①当t为何值时.直线PE把△EAC分成面积之比为1:3的两部分,②在P� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

以点A（0，4），B（8，4），C（0，8）为顶点的四边形OABC在平面直角坐标系中位置如图，现将四边形OABC沿直线AC折叠使点B落在点D处，AD交OC于E．
（1）试求E点坐标及直线AE的解析式；
（2）试求经过点O、D、C三点抛物线的解析式及顶点F的坐标；
（3）一动点P从点A出发，沿射线AB以每秒一个单位长度的速度匀速运动．
①当t为何值时，直线PE把△EAC分成面积之比为1：3的两部分；
②在P点的运动过程中，是否存在某一时刻使△APE为直角三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）先根据AAS定理得出△AEO≌△CED，再根据勾股定理求出OE的长，进而得出E点坐标，再利用待定系数法求出直线AE的解析式即可；
（2）过D作DG⊥OC于G，可得出△CDE∽△DGE，根据相似三角形的性质求出CD两点的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（3）①先求出直线AC的解析式为，设直线PE交AC于H，H（m，-

m+4），过H作HM⊥OA垂足为M，则△AMH∽△AOC，根据相似三角形的对应边成比例求出HM的长，进而可得出结论；
②分EP⊥AB与PE⊥AE两种情况进行讨论即可．

解答：

解：（1）∵四边形OABC为矩形，△ADC是由△ABC沿AC翻折而成，且A（0，4），B（8，4），C（8，0），则DC=BC=OA=4，
∠D=∠AOE=90°，∠AEO=∠CED，
∵

OA=CD

∠AOE=∠CDE

∠AEO=∠CED

，
∴△AEO≌△CED（AAS），
∴DE=OE，
设OE=x，则EC=8-x，
∴（8-x）²=x²+4²．
∴OE=3，
∴E点为（3，0）
设过A，E两点直线解析式为y=kx+b（k≠0），则

3k+b=0

b=4

，
∴直线AE的解析式为：y=-

x+4；

（2）过D作DG⊥OC于G，故△CDE∽△DGE，
∵OE=3，
∴EC=5，
∴

，

，即DG=

，EG=

，
∴D（

，-

），
由于过点O、D、C的抛物线经过原点，则设y=ax²+bx，而C（8，0），D（

，-

），
∴

64a+8b=0

(

)2a+

24b

，解之得

b=-

，
∴y=

x²-

x，
∴y=

x²-

（x²-8x+16）-

（x-4）²-

，
故经点F的坐标为F（4，-

）；

（3）①易求直线AC的解析式为y_AC=-

x+4，设直线PE交AC于H，H（m，-

m+4），

过H作HM⊥OA垂足为M，则△AMH∽△AOC，
∴

，
∴S_△EAH：S_△FHC=1：3或3：1，
∴

=1：3或3：1即

=1：4或3：4
∴HM=2或6，而m=2或6，
∴H₁（2，3），H₂（6，1），
∴直线EH₁的解析式为y=-

，当y=4时，x=

直线EH₂的解析式为y=

，当y=4时，x=

故当t=

秒或

秒，直线EP把△EAC分成面积之比为1：3两部分．
②当EP⊥AB时，
∵A（0，4），E（3，0），
∴AP=3，即t=3（s）；
当PE⊥AE时，
∵直线AE的解析式为：y=-

x+4；
设直线PE的解析式为y=

x+b，
∵E（0，3），
∴

×3+b=3，解得b=

，
∴直线PE的解析式为y=

，
∴当y=4时，x=

，
∴AP=

，即t=

（s）．
综上所述，当t=

秒或

秒或t=

秒时，直线EP把△EAC分成面积之比为1：3两部分．

点评：本题考查的是一次函数综合题，涉及到利用待定系数法求一次函数及二次函数的解析式、全等三角形及相似三角形的判定与性质，难度较大．

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