Question

16．如图，矩形ABCD的顶点B坐标为（5，4），直线y=2x-3分别交x轴、y轴于D、E点，若线段BC上有一点P，直线DE上有一点Q，△APQ是以AP为斜边的等腰直角三角形，则点P坐标为（5，1）或（5，3）．

Answer 1

分析 分点B、Q在AP两侧和点B、Q在AP同侧两种情况考虑：当点B、Q在AP两侧时，过点Q作QE⊥AB于E，作QF⊥BC于F，通过角的计算可得出∠QAE=∠QPF，结合等腰直角三角形的性质即可证出△QAE≌△QPF（AAS），进而可得出AE=PF、QE=QF，设点Q（a，2a-3），则AE=PF=a，QE=4-（2a-3）=7-2a，QF=5-a，根据QE=QF即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出a值，从而得出点Q、F、P的坐标；当点B、Q在AP同侧时，过点Q作QM⊥AB于M，作QN⊥BC于N，同理可证出△QAE≌△QPF（AAS），进而可得出QM=QN、AM=PN，设点Q（a，2a-3），则AM=PN=a，QM=（2a-3）-4=2a-7，QN=5-a，根据QE=QF即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出a值，从而得出点Q、F、P的坐标．综上即可得出结论．

解答 解：当点B、Q在AP两侧时，过点Q作QE⊥AB于E，作QF⊥BC于F，如图1所示．
∵∠B=∠AQP=90°，
∴∠QAE+∠QPB=180°，
∴∠QAE=∠QPF．
∵△APQ是以AP为斜边的等腰直角三角形，
∴QA=QP．
在△QAE和△QPF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AEQ=∠PFQ=90°}\\{∠QAE=∠QPF}\\{QA=QP}\end{array}\right.$，
∴△QAE≌△QPF（AAS），
∴AE=PF，QE=QF．
设点Q（a，2a-3），则AE=PF=a，QE=4-（2a-3）=7-2a，QF=5-a，
∴7-2a=5-a，解得：a=2，
∴Q（2，1），F（5，1），
∴点P（5，3）；
当点B、Q在AP同侧时，过点Q作QM⊥AB于M，作QN⊥BC于N，如图2所示．
∵∠AQP=∠B=90°，
∴∠BAP+∠BPA=∠QAP+∠QPA=90°．
∵∠QAP=∠BAP+∠QAM，∠QPA=∠BPA-∠QPN，
∴∠QAM=∠QPN．
∵△APQ是以AP为斜边的等腰直角三角形，
∴QA=QP．
在△QAM和△QPN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠QMA=∠QNP=90°}\\{∠QAM=∠QPN}\\{QA=QP}\end{array}\right.$，
∴△QAM≌△QPN（AAS），
∴QM=QN，AM=PN．
设点Q（a，2a-3），则AM=PN=a，QM=（2a-3）-4=2a-7，QN=5-a，
∴2a-7=5-a，解得：a=4，
∴Q（4，5），N（5，5），
∴点P（5，1）．
综上所述：点P坐标为（5，1）或（5，3）．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、角的计算、一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形以及解一元一次方程，构造全等三角形，利用全等三角形的性质找出关于点Q点横坐标的一元一次方程是解题的关键．