Question

如图，⊙O上三点A、B、C，AB=AC，∠ABC的平分线交⊙O于点E，∠ACB的平分线交⊙O于点F，BE和CF相交于点D，四边形AFDE是菱形吗？验证你的结论．

Answer 1

分析：菱形的概念：有一组邻边相等的平行四边形是菱形．先证四边形AFDE是平行四边形，再证AF=AE，即证四边形AFDE是菱形．

解答：解：结论：四边形AFDE是菱形．
证明：∵∠ABC=∠ACB，∠ABE=∠EBC=∠ACF=∠FCB．
又∠FAB、∠FCB是同弧上的圆周角，
∴∠FAB=∠FCB，
同理∠EAC=∠EBC．
有∠FAB=∠ABE=∠EAC=∠ACF．
∴AF∥ED，AE∥FD（内错角相等两直线平行）
∴四边形AFDE是平行四边形，
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，
又∵BE平分∠ABC，CF平分∠ACB，
∴∠ABE=∠ACF，
∴

AF

=

AE

，
∴AF=AE．（同圆和等圆中等弧对等弦）
∴四边形AFDE是菱形．

点评：本题利用了：角的平分线的性质，等边对等角，圆周角定理，内错角相等两直线平行，菱形的判定方法．