【题目】(1)如图①,正方形的两边分别在正方形的边和上,连接.填空:线段与的数量关系为________;直线与所夹锐角的大小为________.
(2)如图②,将正方形绕点顺时针旋转,在旋转的过程中,(1)中的结论是否仍然成立,请说明理由.
(3)把图②中的正方形都换成菱形,且,如图③,直接写出______.
【答案】(1)①,②45°;(2)仍然成立,见解析;(3)
【解析】
(1)根据正方形的性质即可得出答案;
(2)过作,且,连接,,并延长交、交于点,证明,接着证明四边形是平行四边形,即可得出答案;
(3)过作∠GDH=120°,且,连接,,证明,接着证明四边形是平行四边形,再过点D作DM⊥GH于点M,证出GM=GH=CF,DM=DG,再利用勾股定理计算即可得出答案.
解:(1)①线段与的数量关系为;
②直线与所夹锐角的度数为45°.
连接AF,根据正方形的性质可得A、F、C三点共线,∠CAD=45°
∵AF=AG,AC=AD
∴CF=AC-AF=(AD-AG)=DG
(2)仍然成立,证明如下:
过作,且,连接,,并延长交、交于点
∵四边形是正方形
∴,
∵
∴
∴
∴
在和中,
∴,
∴,
∵四边形是正方形
∴,,∴
∵,
∴
∴,
,
∴
∴
∴四边形是平行四边形
∴,
在中,
∴,
即,
∵
∴,即直线与所夹锐角的度数为45°;
(3)过作∠GDH=120°,且,连接,
∵四边形是菱形 ,
∴,∠ADC=120°
∵∠GDH=120°
∴
∴
在和中,
∴,
∴,
∵四边形是菱形
∴,,
∴
∵,
∴
∴,
,
∴
∴
∴四边形是平行四边形
∴,
过点D作DM⊥GH于点M
∴GM=GH=CF,DM=DG
在Rt△DGM中,
∴GM=DG,
∴DG:CF=.
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【题目】二孩政策的落实引起了全社会的关注,某校学生数学兴趣小组为了了解本校同学对父母生育二孩的态度,在学校抽取了部分同学对父母生育二孩所持的态度进行了问卷调查,调查分为非常赞同、赞同、无所谓、不赞同等四种态度.现将调查统计结果制成了如图所示的两幅统计图,请结合这两幅统计图,回答下列问题:
(1)在这次问卷调查中,一共抽取了 名学生,a= %;
(2)请补全条形统计图;
(3)持“不赞同”态度的学生人数的百分比所占扇形的圆心角为 °;
(4)若该校有1200名学生,请你估计该校学生对父母生育二孩持“赞同”和“非常赞同”两种态度的人数之和.
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【题目】在平面直角坐标系中,把二元一次方程的一个解用一个点表示出来,例如:可以把它的其中一个解用点(2,1 )在平面直角坐标系中表示出来
探究1:
(1)请你在直角坐标系中标出4个以方程的解为坐标的点,然后过这些点中的任意两点作直线,你有什么发现,请写出你的发现 .
在这条直线上任取一点,这个点的坐标是方程的解吗? (填“是”或“不是”___
(2)以方程的解为坐标的点的全体叫做方程的图象.根据上面的探究想一想:方程的图象是_ _.
探究2:根据上述探究结论,在同-平面直角坐标系中画出二元一次方程组中的两个二元一次方程的图象,由这两个二元一次方程的图象,请你直接写出二元一次方程组的解,即
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【题目】如图,在菱形中,,,点是边的中点,点是边上一动点(不与点重合),延长交射线于点,连接,.
(1)求证:四边形是平行四边形;
(2)填空:
①当的值为_______时,四边形是矩形;
②当的值为______时,四边形是菱形.
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【题目】某饮料厂开发了A、B两种新型饮料,主要原料均为甲和乙,每瓶饮料中甲、乙的含量如下表所示.现用甲原料和乙原料各2800克进行试生产,计划生产A、B两种饮料共100瓶.设生产A种饮料x瓶,解析下列问题:
原料名称 饮料名称 | 甲 | 乙 |
A | 20克 | 40克 |
B | 30克 | 20克 |
(1)有几种符合题意的生产方案写出解析过程;
(2)如果A种饮料每瓶的成本为2.60元,B种饮料每瓶的成本为2.80元,这两种饮料成本总额为y元,请写出y与x之间的关系式,并说明x取何值会使成本总额最低?
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【题目】如图,在一笔直的海岸线上有、两个观测站,在的正东方向,(单位:)有一艘小船在点处,从测得小船在北偏西的方向,从测得小船在北偏东的方向.(结果保留根号)
(1)求点到海岸线的距离;
(2)小船从点处沿射线的方向航行一段时间后,到达点处,此时,从测得小船在北偏西的方向,求点与点之间的距离.
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【题目】如图,在ABCD中,BE平分∠ABC,交AD于点E、F是BC上一点,且CF=AE,连接DF.
(1)求证:四边形BEDF是平行四边形;
(2)若∠ABC=70°,求∠CDF的度数.
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