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    （本小题满分11分）
    如图，已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线
    BC上一动点，△DMN为等边三角形（点M的位置改变时，△DMN也随之整体移动）．
    （1）如图①，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点F与直线EN有怎样的位置关系？都请直接写出结论，不必证明或说明理由；
    （2）如图②，当点M在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立?若成立，请利用图②证明；若不成立，请说明理由；
    （3）若点M在点C右侧时，请你在图③中画出相应的图形，并判断（1）的结论中EN与MF的数量关系及点F与直线EN的位置关系是否仍然成立?若成立?请直接写出结论，不必证明或说明理由．

    （1）判断：EN与MF相等（或EN=MF），点F在直线NE上   ······ 3分
    （说明：答对一个给2分）
    （2）成立．································ 4分
    证明：
    法一：连结DE，DF．   ··········································································· 5分
    ∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC．
    又∵D，E，F是三边的中点，
    ∴DE，DF，EF为三角形的中位线．∴DE=DF=EF，∠FDE=60°．
    又∠MDF+∠FDN=60°，∠NDE+∠FDN=60°，
    ∴∠MDF=∠NDE． ················································································ 7分
    在△DMF和△DNE中，DF=DE，DM=DN，∠MDF=∠NDE，
    ∴△DMF≌△DNE． ··············································································· 8分
    ∴MF=NE．      　··············································································· 9分

    法二：
    延长EN，则EN过点F．    ······································································ 5分
    ∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC．又∵D，E，F是三边的中点，∴EF=DF=BF．  
    ∵∠BDM+∠MDF=60°，∠FDN+∠MDF=60°，∴∠BDM=∠FDN．······················· 7分
    又∵DM=DN，∠ABM=∠DFN=60°，∴△DBM≌△DFN．································· 8分
    ∴BM=FN．∵BF=EF， ∴MF=EN．···························································· 9分
    法三：
    连结DF，NF． ······················································································ 5分

    ∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC=AC．
    又∵D，E，F是三边的中点，∴DF为三角形的中位线，∴DF=AC=AB=DB．
    又∠BDM+∠MDF=60°，∠NDF+∠MDF=60°，∴∠BDM=∠FDN． ………………7分
    在△DBM和△DFN中，DF=DB，
    DM=DN，∠BDM=∠NDF，∴△DBM≌△DFN．
    ∴∠B=∠DFN=60°．…………………………………………………………………8分
    又∵△DEF是△ABC各边中点所构成的三角形，
    ∴∠DFE=60°．∴可得点N在EF上，∴MF=EN．………………………………9分
    （3）画出图形（连出线段NE）， ······························································· 10分
    MF与EN相等及点F在直线NE上的结论仍然成立（或MF=NE成立）． ················ 11分

    解析

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    年级 高中课程 年级 初中课程
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    （1）求的值和点A的坐标；

    （2）在矩形OACB中，点P是线段BC上的一动点，直线PD⊥AB于点D，与轴交于点E，设BP=，梯形PEAC的面积为。

    ①求与的函数关系式，并写出的取值范围；

    ②⊙Q是△OAB的内切圆，求当PE与⊙Q相交的弦长为2.4时点P的坐标。

     

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    （1）求的值和点A的坐标；
    （2）在矩形OACB中，点P是线段BC上的一动点，直线PD⊥AB于点D，与轴交于点E，设BP=，梯形PEAC的面积为。
    ①求与的函数关系式，并写出的取值范围；
    ②⊙Q是△OAB的内切圆，求当PE与⊙Q相交的弦长为2.4时点P的坐标。

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    （1）如图①，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点F与直线EN有怎样的位置关系？都请直接写出结论，不必证明或说明理由；
    （2）如图②，当点M在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立?若成立，请利用图②证明；若不成立，请说明理由；
    （3）若点M在点C右侧时，请你在图③中画出相应的图形，并判断（1）的结论中EN与MF的数量关系及点F与直线EN的位置关系是否仍然成立?若成立?请直接写出结论，不必证明或说明理由．

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    科目：初中数学 来源：2011-2012学年广东省梅州中学九年级下学期3月月考数学卷 题型：解答题

    （本小题满分11分）已知直线与轴轴分别交于点A和点B，点B的坐标为（0，6）

    （1）求的值和点A的坐标；
    （2）在矩形OACB中，点P是线段BC上的一动点，直线PD⊥AB于点D，与轴交于点E，设BP=，梯形PEAC的面积为。
    ①求与的函数关系式，并写出的取值范围；
    ②⊙Q是△OAB的内切圆，求当PE与⊙Q相交的弦长为2.4时点P的坐标。

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