Question

如图所示，在四边形ABCD中，AM=MN=ND，BE=EF=FC，四边形ABEM，MEFN，NFCD的面积分别记为S₁，S₂和S₃，求

S2

S1+S3

=？
（提示：连接AE、EN、NC和AC）

Answer 1

分析：分别连接AE、EN和NC、AC，要求S₂与S₁+S₃之间的关系，可先设四边形AECN的面积为S，根据三角形的面积公式分别求出S₁+S₃、S₂与四边形AECN的面积为S之间的关系，求出

S2

S1+S3

即可．

解答：解：如图a所示：连接AE、EN和NC，设四边形AECN的面积为S，
∵AM=MN=ND，BE=EF=FC，
∴S_△AEM=S_△MEN，S_△CNF=S_△EFN，
上面两个式子相加得S_△AEM+S_△CNF=S₂
并且四边形AECN的面积S=2S₂，即：S₂=

1

2

S，S_△AEM+S_△CNF=

1

2

S．
连接AC，如图b所示：
∵AM=MN=ND，BE=EF=FC，
∴CE=2BE，NA=2DN，
∴S_△ABE=

1

2

S_△AEC，S_△CDN=

1

2

S_△CNA，
上面两个式子相加得S_△ABE+S_△CDN=

1

2

×四边形AECN的面积=

1

2

S，
所以，S_△AEM+S_△CNF+S_△ABE+S_△CDN=

1

2

S+

1

2

S=S，
因此S₁+S₃=S，

S2

S1+S3

=

1 2 S

S

=

1

2

．
答：

S2

S1+S3

=

1

2

．

点评：本题主要考查了灵活运用三角形的面积公式，分别求出各个量与中间量得关系，分别用中间量表示各个量，代入所求式子求值的方法，关键在于设出合适的中间量．