【题目】如图,已知在正方形ABCD中,点O是对角线AC的中点,过O点的射线OM、ON分别交AB、BC于点E、F,且∠EOF=90°,BO、EF交于点P,下列结论:
①图形中全等的三角形只有三对; ②△EOF是等腰直角三角形;③正方形ABCD的面积等于四边形OEBF面积的4倍;④BE+BF=OA;⑤AE2+BE2=2OPOB.其中正确的个数有( )个.
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】B
【解析】
由正方形的性质和已知条件得出图形中全等的三角形有四对,得出①不正确;由△AOE≌△BOF,得出对应边相等OE=OF,得出②正确;由△AOE≌△BOF,得出四边形OEBF的面积=△ABO的面积=正方形ABCD的面积,③正确;由△BOE≌△COF,得出BE=CF,得出BE+BF=AB=OA,④错误;由△AOE≌△BOF,得出AE=BF,得出AE2+CF2=BE2+BF2=EF2=2OF2,再证明△OPF∽△OFB,得出对应边成比例OP:OF=OF:OB,得出OF2=OPOB,得出⑤正确.
解:①不正确;
图形中全等的三角形有四对:△ABC≌△ADC,△AOB≌△COB,△AOE≌△BOF,△BOE≌△COF;理由如下:
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC=CD=DA,∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠D=90°,∠BAO=∠BCO=45°,
在△ABC和△ADC中,
,
∴△ABC≌△ADC(SSS);
∵点O为对角线AC的中点,
∴OA=OC,
在△AOB和△COB中,
,
∴△AOB≌△COB(SSS);
∵AB=CB,OA=OC,∠ABC=90°,
∴∠AOB=90°,∠OBC=45°,
又∵∠EOF=90°,
∴∠AOE=∠BOF,
在△AOE和△BOF中,
,
∴△AOE≌△BOF(ASA);
同理:△BOE≌△COF(ASA);
②正确;理由如下:
∵△AOE≌△BOF,
∴OE=OF,
∴△EOF是等腰直角三角形;
③正确.理由如下:
∵△AOE≌△BOF,
∴四边形OEBF的面积=△ABO的面积=正方形ABCD的面积;
④不正确.理由如下:
∵△BOE≌△COF,
∴BE=CF,
∴BE+BF=CF+BF=BC=AB=OA;
⑤正确.理由如下:
∵△AOE≌△BOF,
∴AE=BF,
∴AE2+CF2=BE2+BF2=EF2=2OF2,
在△OPF与△OFB中,
∠OBF=∠OFP=45°,
∠POF=∠FOB,
∴△OPF∽△OFB,
∴OP:OF=OF:OB,
∴OF2=OPOB,
∴AE2+CF2=2OPOB.
正确结论的个数有3个;
故选:B.
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【题目】大学毕业生小王响应国家“自主创业”的号召,利用银行小额无息贷款开办了一家饰品店.该店购进一种今年新上市的饰品进行销售,饰品的进价为每件40元,售价为每件60元时,每月可卖出300件.市场调查反映:调整价格时,售价每涨1元每月要少卖10件;售价每下降1元每月要多卖20件.为了获得更大的利润,现将饰品售价调整为x(元/件),每月饰品销量为y(件),月利润为w(元).
(1)直接写出y与x之间的函数关系式;
(2)如何确定售价才能使月利润最大?求最大月利润;
(3)为了使每月利润不少于6000元应如何控制售价?
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【题目】在平面直角坐标系中,正方形ABCD的位置如图所示,点A的坐标为(1,0),点D的坐标为(0,2),延长CB交x轴于点A1,作正方形A1B1C1C;延长C1B1交x轴于点A2,作正方形A2B2C2C1…按这样的规律进行下去,第1个正方形的面积为___;第4个正方形的面积为___.
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【题目】方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形,在建立平面直角坐标系后,△ABC的顶点均在格点上,点C的坐标为(4,﹣1).
(1)试作出△ABC以C为旋转中心,沿顺时针方向旋转90°后的图形△A1B1C;
(2)以原点O为对称中心,再画出与△ABC关于原点O对称的△A2B2C2,并写出点C2的坐标.
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【题目】今年,我国海关总署严厉打击“洋垃圾”违法行动,坚决把“洋垃圾”拒于国门之外.如图,某天我国一艘海监船巡航到A港口正西方的B处时,发现在B的北偏东60°方向,相距150海里处的C点有一可疑船只正沿CA方向行驶,C点在A港口的北偏东30°方向上,海监船向A港口发出指令,执法船立即从A港口沿AC方向驶出,在D处成功拦截可疑船只,此时D点与B点的距离为75海里.
(1)求B点到直线CA的距离;
(2)执法船从A到D航行了多少海里?(结果保留根号)
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【题目】如图,在ABCD中,按下列步骤作图:
①以点B为圆心,以适当长为半径作弧,交AB于点M.交BC于点N;
②再分别以点M和点N为圆心,大于MN的长为半径作弧,两弧交于点G;
③作射线BG交AD于F;
④过点A作AE⊥BF交BF于点P,交BC于点E;
⑤连接EF,PD.
(1)求证:四边形ABEF是菱形;
(2)若AB=4,AD=6,∠ABC=60°,求DP的长.
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【题目】某超市销售一种文具,进价为5元/件.售价为6元/件时,当天的销售量为100件.在销售过程中发现:售价每上涨0.5元,当天的销售量就减少5件.设当天销售单价统一为元/件(,且是按0.5元的倍数上涨),当天销售利润为元.
(1)求与的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围);
(2)要使当天销售利润不低于240元,求当天销售单价所在的范围;
(3)若每件文具的利润不超过,要想当天获得利润最大,每件文具售价为多少元?并求出最大利润.
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【题目】如图1,抛物线经过、两点,与x轴交于另一点B.
求抛物线的解析式;
已知点在第一象限的抛物线上,求点D关于直线BC对称的点的坐标;
如图2,若抛物线的对称轴为抛物线顶点与直线BC相交于点F,M为直线BC上的任意一点,过点M作交抛物线于点N,以E,F,M,N为顶点的四边形能否为平行四边形?若能,求点N的坐标;若不能,请说明理由.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=3cm,AC=6cm,将△ABC绕点C逆时针旋转90°后得到△A1B1C,再将△A1B1C沿CB向右平移,使点B2恰好落在斜边AB上,A2B2与AC相交于点D.
(1)判断四边形A1A2B2B1的形状,并说明理由;
(2)求△A2CD的面积.
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