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【题目】如图,已知在正方形ABCD中,点O是对角线AC的中点,过O点的射线OMON分别交ABBC于点EF,且∠EOF90°BOEF交于点P,下列结论:

①图形中全等的三角形只有三对; ②△EOF是等腰直角三角形;③正方形ABCD的面积等于四边形OEBF面积的4倍;④BE+BFOA;⑤AE2+BE22OPOB.其中正确的个数有(  )个.

A. 4B. 3C. 2D. 1

【答案】B

【解析】

由正方形的性质和已知条件得出图形中全等的三角形有四对,得出①不正确;由△AOE≌△BOF,得出对应边相等OE=OF,得出②正确;由△AOE≌△BOF,得出四边形OEBF的面积=ABO的面积=正方形ABCD的面积,③正确;由△BOE≌△COF,得出BE=CF,得出BE+BF=AB=OA,④错误;由△AOE≌△BOF,得出AE=BF,得出AE2+CF2=BE2+BF2=EF2=2OF2,再证明△OPF∽△OFB,得出对应边成比例OPOF=OFOB,得出OF2=OPOB,得出⑤正确.

解:①不正确;

图形中全等的三角形有四对:ABC≌△ADCAOB≌△COBAOE≌△BOFBOE≌△COF;理由如下:

∵四边形ABCD是正方形,

ABBCCDDA,∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠D90°,∠BAO=∠BCO45°

ABCADC中,

∴△ABC≌△ADCSSS);

∵点O为对角线AC的中点,

OAOC

AOBCOB中,

∴△AOB≌△COBSSS);

ABCBOAOC,∠ABC90°

∴∠AOB90°,∠OBC45°

又∵∠EOF90°

∴∠AOE=∠BOF

AOEBOF中,

∴△AOE≌△BOFASA);

同理:BOE≌△COFASA);

②正确;理由如下:

∵△AOE≌△BOF

OEOF

∴△EOF是等腰直角三角形;

③正确.理由如下:

∵△AOE≌△BOF

∴四边形OEBF的面积=ABO的面积=正方形ABCD的面积;

④不正确.理由如下:

∵△BOE≌△COF

BECF

BE+BFCF+BFBCABOA

⑤正确.理由如下:

∵△AOE≌△BOF

AEBF

AE2+CF2BE2+BF2EF22OF2

OPFOFB中,

OBF=∠OFP45°

POF=∠FOB

∴△OPF∽△OFB

OPOFOFOB

OF2OPOB

AE2+CF22OPOB

正确结论的个数有3个;

故选:B

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③作射线BGADF

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