Question

（2012•济宁）有四张形状、大小和质地相同的卡片A、B、C、D，正面分别写有一个正多边形（所有正多边形的边长相等），把四张卡片洗匀后正面朝下放在桌面上，从中随机抽取一张（不放回），接着再随机抽取一张．

（1）请你用画树形图或列表的方法列举出可能出现的所有结果；
（2）如果在（1）中各种结果被选中的可能性相同，求两次抽取的正多边形能构成平面镶嵌的概率；
（3）若两种正多边形构成平面镶嵌，p、q表示这两种正多边形的个数，x、y表示对应正多边形的每个内角的度数，则有方程px+qy=360，求每种平面镶嵌中p、q的值．

Answer 1

分析：（1）列出图表即可得到所有的可能情况；
（2）根据平面镶嵌的定义，能构成平面镶嵌的多边形有正三角形与正方形，正三角形与正六边形，然后根据概率公式列式计算即可得解；
（3）对两种平面镶嵌的情况，根据方程代入数据整理，再根据p、q都是整数解答．

解答：解：（1）所有出现的结果共有如下12种：…3分

第一次/第二次	A	B	C	D
A		BA	CA	DA
B	AB		CB	DB
C	AC	BC		DC
D	AD	BD	CD

（2）因为，12种结果中能构成平面镶嵌的有四种AB、AD、BA、DA，
所以P（两次抽取的正多边形能构成平面镶嵌）=

4

12

=

1

3

；…6分

（3）当正三角形和正方形构成平面镶嵌时，
则有60p+90q=360，即2p+3q=12．
因为p、q是正整数，
所以p=3，q=2，…7分
当正三角形和正六边形构成平面镶嵌时，
则有60p+120q=360，即p+2q=6．
因为p、q是正整数，
所以p=4，q=1或p=2，q=2．

点评：本题考查了列表法或树状图法求概率，以及平面镶嵌的知识，概率=所求情况数与总情况数之比，平面镶嵌的条件：各个顶点处内角和恰好为360°．