Question

（2013•湛江）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（3，4）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B、C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，-5）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与⊙C有什么位置关系，并给出证明；
（3）在抛物线上是否存在一点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由顶点式，利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）判断直线与圆的位置关系，关键是分析圆的半径r和圆心到直线距离d之间的大小关系．由题意可知d=2，由相似三角形求得r=

4

26

，因为2＞

4

26

，所以可判定抛物线的对称轴l与⊙C相离；
（3）本问是存在性问题．点P有两种情况，分别位于x轴上方与下方，需要分类讨论，注意不要漏解；在求点P坐标时，需要充分利用几何图形（等腰直角三角形）的性质，以及抛物线上点的坐标特征．

解答：解：（1）设抛物线解析式为：y=a（x-3）²+4，
将A（0，-5）代入求得：a=-1，
∴抛物线解析式为y=-（x-3）²+4=-x²+6x-5．

（2）抛物线的对称轴l与⊙C相离．证明：
令y=0，即-x²+6x-5=0，得x=1或x=5，∴B（1，0），C（5，0）．
如答图①所示，设切点为E，连接CE，由题意易证Rt△ABO∽Rt△BCE，
∴

AB

BC

=

OB

CE

，即

52+12

4

=

1

CE

，
求得⊙C的半径CE=

4

26

=

4 26

26

=

2 26

13

；
而点C到对称轴x=3的距离为2，2＞

2 26

13

，
∴抛物线的对称轴l与⊙C相离．

（3）存在．理由如下：
有两种情况：
（I）如答图②所示，点P在x轴上方．
∵A（0，-5），C（5，0），∴△AOC为等腰直角三角形，∠OCA=45°；
∵PC⊥AC，∴∠PCO=45°．
过点P作PF⊥x轴于点F，则△PCF为等腰直角三角形．
设点P坐标为（m，n），则有OF=m，PF=CF=n，
OC=OF+CF=m+n=5 ①
又点P在抛物线上，∴n=-m²+6m-5 ②
联立①②式，解得：m=2或m=5．
当m=5时，点F与点C重合，故舍去，
∴m=2，∴n=3，
∴点P坐标为（2，3）；
（II）如答图③所示，点P在x轴下方．
∵A（0，-5），C（5，0），∴△AOC为等腰直角三角形，∠OAC=45°；
过点P作PF⊥y轴于点F，
∵PA⊥AC，∴∠PAF=45°，即△PAF为等腰直角三角形．
设点P坐标为（m，n），则有PF=AF=m，OF=-n=OA+AF=5+m，
∴m+n=-5 ①
又点P在抛物线上，∴n=-m²+6m-5 ②
联立①②式，解得：m=0或m=7．
当m=0时，点F与原点重合，故舍去，
∴m=7，∴n=-12，
∴点P坐标为（7，-12）．
综上所述，存在点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形．点P的坐标为（2，3）或（7，-12）．

点评：本题是代数几何综合题，以抛物线为载体，综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形、等腰直角三角形以及直线与圆的位置关系等重要知识点，考查了代数计算能力、几何空间想象能力、数形结合思想、分类讨论思想等综合运用．第（3）问需要分类讨论，避免漏解，这是本题的难点．