Question

如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数的图象交于M、N两点．
（1）利用图中条件，求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）连接OM、ON，求三角形OMN的面积．
（3）连接OM，在x轴的正半轴上是否存在点Q，使△MOQ是等腰三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标，若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）把N（-1，-4）代入y=得：k=4，
∴y=，
把M（2，m）代入得：m=2，
∴M（2，2），
把N（-1，-4），M（2，2）代入y=ax+b得：，
解得：a=2，b=-2，
∴y=2x-2，
答：反比例函数的解析式是y=，一次函数的解析式是y=2x-2．

（2）设MN交x轴于C，
y=2x-2，
当y=0时，x=1，
∴C（1，0），
OC=1，
∴△MON的面积是S=S_△MOC+S_△NOC=×1×2+×1×|-4|=3，
答：三角形MON的面积是3．

（3）当OM=OQ时，Q的坐标是（2，0）；
当OM=MQ时，Q的坐标是（4，0）；
当OQ=QM时，Q的坐标是（2，0）；
答：在x轴的正半轴上存在点Q，使△MOQ是等腰三角形，所有符合条件的点Q的坐标是（2，0）或（4，0）或（2，0）．
分析：（1）把N的坐标代入反比例函数，能求出反比例函数解析式，把M的坐标代入解析式，求出M的坐标，把M、N的坐标代入y=ax+b，能求出一次函数的解析式；
（2）求出MN与x轴的交点坐标，求出△MOC和△NOC的面积即可；
（3）符合条件的有3个①OM=OQ，②OM=MQ，③MO=OQ，根据M的坐标求出即可．
点评：本题综合考查了用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，三角形的面积，等腰三角形的判定等知识点，此题综合性比较强，题型较好，分类讨论思想的运用．