Question

已知：如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O交边AC于点D，且过点D的切线DE平分边BC．
（1）BC与⊙O是否相切？请说明理由；
（2）当△ABC满足什么条件时，以点O，B，E，D为顶点的四边形是平行四边形？并说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）连接OD，BD，根据已知及圆周角定理等可求得∠ABC=90°，OD是半径，故BC与⊙O相切．
（2）若四边形OBED是平行四边形，应有OD∥BC，OD=BE；而BE=CE，所以BC=2BE=2OD=AB，故此时△ABC是等腰直角三角形．
解答：解：（1）BC与⊙O相切；
理由：连接OD，BD；
∵DE切⊙O于D，AB为直径，
∴∠EDO=∠ADB=90°，
∵DE平分CB，
∴DE=BC=BE，
∴∠EDB=∠EBD；
∵∠ODB=∠OBD，∠ODB+∠EDB=90°，
∴∠OBD+∠DBE=90°，
即∠ABC=90°，
∴BC与⊙O相切；

（2）当△ABC为等腰直角三角形（∠ABC=90°）时，四边形OBED是平行四边形；
∵△ABC是等腰直角三角形（∠ABC=90°），
∴AB=BC，
∵BD⊥AC于D，
∴D为AC中点，
∴OD=BC=BE，OD∥BC，
∴四边形OBED是平行四边形．
点评：本题考查直角三角形的性质，圆周角定理及切线的判定等知识的综合运用．