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设抛物线C的解析式为:y=x2-2kx+(
3
+k)k,k为实数.
(1)求抛物线的顶点坐标和对称轴方程(用k表示);
(2)任意给定k的三个不同实数值,请写出三个对应的顶点坐标;试说明当k变化时,抛物线C的顶点在一条定直线L上,求出直线L的解析式并画出图象;
(3)在第一象限有任意两圆O1、O2相外切,且都与x轴和(2)中的直线L相切.设两圆在x轴上的切点分别为A、B(OA<OB),试问:
OA
OB
是否为一定值?若是,请求出该定值;若不是,请说明理由;
(4)已知一直线L1与抛物线C中任意一条都相截,且截得的线段长都为6,求这条直线的解析式.
分析:(1)根据抛物线对称轴和顶点的公式即可得出本题的结论.
(2)根据(1)得出的顶点坐标(k,
3
k),可得出无论k取什么值,横坐标和纵坐标的比例关系是不变的,因此抛物线的顶点在正比例函数的图象上,且斜率为
3

(3)不难得出OA:OB正好是两圆的半径比,因此可通过求两圆半径的比例关系来求OA,OB的比例关系,如图,过O1作O2B的垂线,那么O2H就是两圆的半径差,O1O2是两圆的半径和,可根据∠O2O1H的度数求出两圆的半径的比例关系,即可得出OA,OB的比例关系.
(4)由于直线l1截的线段都相等,因此它必与(2)中求出的正比例的解析式平行,即斜率相等,要求直线l1的解析式,需知道抛物线与y轴的交点坐标即b的值.为了简便,可设直线l1与抛物线y=x2相交(原抛物线中k=0),可联立两函数式,可得出一个一元二次方程,方程的解即为两交点的横坐标,然后根据根与系数的关系,用b表示出两横坐标的和与积,进而可表示出两点的水平距离.然后根据直线与x轴的夹角的度数和两点的距离(已知了距离为6),可求出b的值,即可确定出直线l1的解析式.
解答:解:(1)对称轴方程x=-
b
2a
=k,
4ac-b2
4a
=
4×(
3
+k)k
4
=
3
k,
∴顶点(k,
3
k),对称轴方程x=k.

(2)①k=1时,函数的顶点坐标为(1,
3
);
②k=2时,函数的顶点坐标为(2,2
3
);
③k=3时,函数的顶点坐标为(3,3
3
).
得出L:y=
3
x,画出图象.
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(3)依题意作出下图:
在L:y=
3
x上取一点(1,
3
)可得tan∠DOA=
3
1
=
3

即∠DOA=60°,
又O1O2在∠DOA的平分线上
∴∠AOO1=∠HO1O2=30°,
设⊙O1、⊙O2的半径分别为r1、r2
由Rt△AOO1∽Rt△HO1O2
OA
OB
=
O1A
O1B
=
r1
r2

在Rt△O1HO2中,由sin30°=
HO2
O1O2
=
r2-r1
r2+r1
=
1
2

得r2=3r1
把(2)代入(1)
得:
OA
OB
=
1
3
,即为定值.

(4)由题意,作图探索可知:
直线L1应与L平行,即L1与x轴正半轴的夹角为60°,从而可设L1与y轴的交点坐标为(0,b),则与x轴的交点坐标为(-
3
3
b,0),精英家教网
故L1的方程为y=
3
x+b,
又由题意可设k=0得C中的一条抛物线y=x2
设L1与y=x2相交于点M(x1,y1),N(x2,y2),MP⊥PN(如图),
联立
y=x2
y=
3
x+b

得x2-
3
x-b=0,
由韦达定理:x1+x2=
3
,x1x2=-b,
则|x1-x2|=
(x1+x2)2-4x1x2
=
3+4b
=|MP|,
在Rt△MPN中,∠NMP=60°,
则cos60°=
|MP|
|MN|
=
3+4b
6
=
1
2

解得b=
3
2

∴求得的L1的解析式为:y=
3
x+
3
2
点评:本题主要考查了二次函数的应用、相似三角形的判定和性质以及一元二次方程根与系数的关系(即韦达定理).
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